Kаковы должны быть размеры закрытого цилиндрического бака объёмом 65,536π, чтобы на его изготовление ушло наименьшее количество материала?

Для решения данной задачи, мы должны определить размеры цилиндрического бака, которые минимизируют количество материала, используемого при его изготовлении.

Поверхность бака состоит из двух частей: двух круговых оснований и боковой поверхности. Для определения площади боковой поверхности, нам необходимо знать высоту и окружность основания.

Пусть r обозначает радиус основания, а h - высоту цилиндра.

Площадь боковой поверхности cylinder = 2πrh.

Также, объем цилиндра равен πr²h.

У нас есть следующий уравнения для нахождения объема бака:
πr²h = 65,536π.

Для решения этого уравнения, мы можем выразить одну из переменных через другую и заменить ее в формуле площади боковой поверхности.

Выразим высоту h через радиус r из уравнения объема:
h = 65,536 / r².

Теперь заменим выражение для h в формуле площади боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности cylinder = 2πr(65,536 / r²).

Упростим эту формулу:
Площадь боковой поверхности cylinder = 131,072 / r.

Теперь у нас есть формула для площади боковой поверхности в зависимости от радиуса основания.

Чтобы найти радиус, который минимизирует площадь боковой поверхности, мы должны найти точку экстремума этой функции. Для этого возьмем производную по радиусу и приравняем ее к нулю.

d(Площадь боковой поверхности cylinder)/dr = 0.

Производная функции равна -131,072 / r².

Приравнивая эту производную к нулю, получаем:
-131,072 / r² = 0.

Знаменатель не может быть равным нулю, поэтому решения не существует. Это означает, что функция не имеет экстремума и нет определенного значения радиуса, которое минимизирует площадь боковой поверхности.

Таким образом, чтобы наименьшее количество материала использовалось при изготовлении бака с заданным объемом, мы не можем выбрать конкретные размеры для радиуса и высоты цилиндра. Но мы всегда можем найти соотношение между высотой и радиусом, которое минимизирует площадь боковой поверхности.

Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если у вас возникли дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!