Какие из данных функций являются непрерывными в точке x = 1? в случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:

Для определения непрерывности функции в точке x = 1, нам нужно проверить три условия:
1. Функция должна быть определена в точке x = 1.
2. Предел функции при x, стремящемся к 1, должен существовать.
3. Значение функции в точке x = 1 должно совпадать с пределом функции.

Рассмотрим каждую из данных функций по очереди:

1. f(x) = x^2
Чтобы узнать, непрерывна ли функция f(x) = x^2 в точке x = 1, мы должны проверить все три вышеуказанных условия.

1.1. Функция f(x) = x^2 определена при любом значении x вещественных чисел, включая x = 1. Таким образом, первое условие выполняется.

1.2. Теперь посмотрим на предел функции f(x) при x, стремящемся к 1:
lim (x->1) x^2 = 1^2 = 1
Значит, второе условие также выполняется.

1.3. И наконец, проверим, совпадает ли значение функции в точке x = 1 с пределом:
f(1) = 1^2 = 1
Таким образом, третье условие тоже выполняется.

Исходя из результатов, мы можем заключить, что функция f(x) = x^2 является непрерывной в точке x = 1.

2. g(x) = 1/x
Аналогично, чтобы узнать, непрерывна ли функция g(x) = 1/x в точке x = 1, мы проверяем все три условия:

2.1. Функция g(x) = 1/x определена при любом значении x вещественных чисел, кроме x = 0. Таким образом, она определена при x = 1. Первое условие выполняется.

2.2. Проверим предел функции g(x) при x, стремящемся к 1:
lim (x->1) 1/x = 1/1 = 1
В данном случае предел функции существует и равен 1. Второе условие тоже выполняется.

2.3. Теперь проверим, совпадает ли значение функции в точке x = 1 с пределом:
g(1) = 1/1 = 1
Третье условие также выполняется.

Исходя из результатов, мы можем заключить, что функция g(x) = 1/x является непрерывной в точке x = 1.

3. h(x) = |x - 1|
Чтобы узнать, непрерывна ли функция h(x) = |x - 1| в точке x = 1, мы проверяем все три условия:

3.1. Функция h(x) = |x - 1| определена при любом значении x вещественных чисел. Таким образом, она определена при x = 1. Первое условие выполняется.

3.2. Проверим предел функции h(x) при x, стремящемся к 1 справа (x > 1):
lim (x->1+) |x - 1| = |1 - 1| = 0
А теперь проверим предел функции h(x) при x, стремящемся к 1 слева (x < 1):
lim (x->1-) |x - 1| = |-1 + 1| = 0
Заметим, что пределы справа и слева существуют и равны 0. Второе условие выполняется.

3.3. Проверим, совпадает ли значение функции в точке x = 1 с пределом:
h(1) = |1 - 1| = |0| = 0
Таким образом, третье условие также выполняется.

Исходя из результатов, мы можем заключить, что функция h(x) = |x - 1| является разрывной в точке x = 1. По определению модуля, значение функции при x = 1 равно нулю, но пределы функции при x, стремящемся к 1 справа и слева, равны 0. Это означает, что функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке x = 1.

Таким образом, функции f(x) = x^2 и g(x) = 1/x являются непрерывными в точке x = 1, а функция h(x) = |x - 1| является разрывной (скачком) в точке x = 1.