Как решать двойные неравенства объяснить подробно!

   

Двойные неравенства решения

Двойные неравенства – неравенства, в записи которых используется два знака сравнения.

Например:

5<11<17

−2≤3x+5≤2

2x−5≤3x+7≤8x

Двойное неравенство по своей сути – это система из двух неравенств, записанных в одну строку. Поэтому  их всегда можно представить в виде системы.

Например:

−2≤3x+5≤2⇔{−2≤3x+53x+5≤2

2x−5≤3x+7≤8x⇔{2x−5≤3x+73x+7≤8x

Но делать это нужно не всегда.

решения двойного неравенства

1) Если в крайней левой и крайней правой частях двойного неравенства нет неизвестных, то удобнее оставить его как есть. При этом в процессе решения стремится равносильными преобразованиями привести неравенство к виду [число]

<x<[число]

.

Пример: Решите двойное неравенство:

−2≤3x+5≤2

   |−5

 

Здесь нет неизвестных по краям, поэтому к системе переходить не будем. Вместо этого делаем такие преобразования, чтоб в центре остался голый икс, а по краям - числа.

Для того чтобы «оголить» икс нужно избавиться от пятерки и тройки. Вычтем 5

из всего неравенства.

−7≤3x≤−3

  |:3

   

Теперь нам мешает 3

. Поделим все три части неравенства на 3

.

−

73≤x≤−1

   

Готово, наш икс «голый». Можно записывать ответ.

ответ: [−73;−1]

2) Если в крайних частях двойного неравенства есть неизвестные лучше перевести неравенство в систему и решать его как обычную систему неравенств.

Пример: Решите двойное неравенство:

2x−5<3x+7≤8x

 

В крайней левой и крайней правой частях есть неизвестные –значит переходим к системе.

{2x−5<3x+73x+7≤8x

   

Решаем обычные линейные неравенства: все, что с иксами переносим в левую сторону, все что без иксов - в правую.

{2x−3x<7+53x−8x≤−7

   

Приводим подобные слагаемые

{−x<12−5x≤−7

 

«Оголим» иксы, поделив верхнее неравенство на (−1)

, нижнее на (−5)

. Не забываем при этом перевернуть знаки сравнения, так как мы делим на отрицательное число.

{x>−12x≥75

 

Отметим на числовой оси оба решения

Решение двойного неравенства на оси    

Так как у нас система, то мы ищем значения иксов, которые подойдут обоим неравенствам, т.е. интервал, где есть двойная штриховка: и сверху, и снизу. Его и запишем ответ.

Двойное неравенство это например 5 больше 3 но меньше 9. Так оно читается и начинаем читать неравенство с середины (если в неравенстве три числа). А пишется так 3<5<9