Как решается это сравнение 183x=93 (mod 111)​

Пошаговое объяснение:

183х=93

Х=93/183=31/61

Привет! Я с удовольствием выступлю в роли школьного учителя, чтобы помочь тебе разобраться с этим сравнением.

Дано сравнение 183x ≡ 93 (mod 111)​. Цель состоит в том, чтобы найти значение переменной x, удовлетворяющее этому сравнению.

Первым шагом в решении сравнения является вычисление наибольшего общего делителя (НОД) чисел 183 и 111. НОД может быть вычислен с помощью алгоритма Евклида.

Алгоритм Евклида заключается в последовательном делении одного числа на другое с сохранением остатков до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. НОД равен последнему ненулевому остатку. В нашем случае мы вычислим НОД для чисел 183 и 111:

НОД(183, 111) = 183 % 111 = 72
НОД(111, 72) = 111 % 72 = 39
НОД(72, 39) = 72 % 39 = 33
НОД(39, 33) = 39 % 33 = 6
НОД(33, 6) = 33 % 6 = 3
НОД(6, 3) = 6 % 3 = 0

Таким образом, НОД(183, 111) = 3.

Далее нам нужно проверить, делится ли 93 на НОД(183, 111). Если 93 не делится на 3, то сравнение 183x ≡ 93 (mod 111) не имеет решений. В нашем случае 93 делится на 3, поэтому переходим к следующему шагу.

Для нахождения решения сравнения мы должны разделить обе части сравнения на НОД(183, 111). В нашем случае:

183x/3 ≡ 93/3 (mod 111)

Это приводит к сравнению:

61x ≡ 31 (mod 111).

Теперь нам нужно найти обратный элемент для 61 по модулю 111 (записывается как 61^(-1) mod 111). Это число, если умножить на 61, даст остаток, равный 1 при делении на 111.

Чтобы найти обратный элемент, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида или таблицу расширенных остатков.

В данном случае мы будем использовать таблицу расширенных остатков.

Каждый ряд таблицы представляет собой остаток от деления предыдущего ряда на текущий ряд. Заметим, что нам нужно находить только значения ряда столбца, в котором остаток равен 1.

111 61 50 11 6 5 1
1 0 1 -1 1 -2 3 -5
0 1 -1 2 -3 5 -8 13

Из таблицы мы видим, что обратный элемент для 61 по модулю 111 равен -8.

Теперь мы можем умножить обе части сравнения на обратный элемент:

-8 * 61x ≡ -8 * 31 (mod 111).

Это приводит к сравнению:

-488x ≡ -248 (mod 111).

Теперь мы можем привести коэффициенты к наименьшему положительному целому числу, сравнимому с -488 и -248:

-488 + 111 * 5 = 97,
-248 + 111 * 2 = 19.

Сравнение становится:

97x ≡ 19 (mod 111).

Коэффициенты при x заменяются на эквивалентные значения по модулю 111, так как в дальнейшем нам нужно будет работать только с положительными целыми числами.

Теперь мы можем найти значение переменной x, деля обе части сравнения на коэффициент при x:

97 * x/97 ≡ 19/97 (mod 111).

Это приводит к сравнению:

x ≡ 19 * 97^(-1) (mod 111).

Теперь нам нужно найти обратный элемент для 97 по модулю 111 (записывается как 97^(-1) mod 111).

Мы можем использовать таблицу расширенных остатков, чтобы найти обратный элемент для 97:

111 97 14 11 3
1 0 1 -7 -9 26
0 1 -1 8 17 -48

Из таблицы видно, что обратный элемент для 97 по модулю 111 равен -48.

Теперь мы можем вычислить значение переменной x:

x ≡ 19 * -48 (mod 111).

Умножим значения:

x ≡ -912 (mod 111).

Приведем коэффициенты к наименьшему положительному целому числу сравнимому с -912:

-912 + 111 * 9 = 9.

Таким образом, решением сравнения 183x ≡ 93 (mod 111) является x = 9.

Надеюсь, эта подробная разборка помогла тебе понять процесс решения данного сравнения! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать. Я всегда готов помочь!