Математика: Как найти площадь закрашеной фигуры

Как найти площадь закрашеной фигуры

Ответы

DARINASTAR98 10.10.2020 13:52

Пошаговое объяснение:

Найдем точки пересечения параболы y = 9 - x² и прямой y = x + 3.

$\left\{\begin{gathered}y=9-{x^2}\hfill\\y=x+3\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}9-{x^2}=x+3\hfill\\y=x+3\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}-{x^2}-x+6=0\hfill\\y=x+3\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x^2}+x-6=0\hfill\\y=x+3\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x_1}=-3,{x_2}=2\hfill\\{y_1}=0,{y_2}=5\hfill\\\end{gathered}\right.$

Парабола и прямая пересекаются в точках (-3; 0) и (2; 5)

Для того, чтобы получить площадь фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$\displaystyle\[\int\limits_a^b{\left({f(x)-g(x)}\right)}dx\]$

где a = x₁; b = x₂

$\begin{gathered}f(x)=9-{x^2}\hfill\\g(x)=x+3\hfill\\\end{gathered}$

$\displaystyle \[\int\limits_{-3}^2{(9-{x^2})dx-\int\limits_{-3}^2{(x+3)dx=\left({9x-\frac{{{x^3}}}{3}}\right)\mathop|\limits_{-3}^2-\left({\frac{{{x^2}}}{2}+3x}\right)\mathop|\limits_{-3}^2=\]$

$\displaystyle \[\left({\left({9\cdot2-\frac{{{2^3}}}{3}}\right)-\left({9\cdot(-3)-\frac{{{{(-3)}^3}}}{3}}\right)}\right)}-\left({\left({\frac{{{2^2}}}{2}+3\cdot2}\right)-\left({\frac{{-{3^2}}}{2}+3\cdot(-3)}\right)}\right)}=\]$

$\displaystyle \[=\left({\left({18-\frac{8}{3}}\right)-\left({-27+\frac{{27}}{3}}\right)}\right)-\left({\left({2+6}\right)-\left({\frac{9}{2}-9}\right)}\right)=18-\frac{8}{3}+27-\frac{{27}}{3}-8+\frac{9}{2}-9=\boxed{\frac{{125}}{6}}\]$