Как исследуется функция на максимум и минимум с второй производной?

Пошаговое объяснение:

Алгоритм исследования с второй производной  на максимум и минимум включает следующие этапы: 1)нахождение первой производной заданной функции - f′(x);   2) нахождение критических точек (f′(x)=0 или не существует);       3)нахождение второй производной заданной функции - f″(x);         4)исследование знака f″(x) в критической точке;    5)определение характера критической точки;      6)вычисление значения f(x) при каждом критическом значении переменной.

Все возможные варианты, которые могут получиться в результате исследования, можно свести в таблицу (прилагается в файле)

Пример. Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: y=12x³+4.

Решение: Найдем первую производную заданной функции: y′=(12x³+4)′=36x². Найдем критические точки: y′(x)=0;  36x²=0; ⇒x=0. Найдем вторую производную заданной функции: y″=(36x²)′=72x. Исследуем знак f″(x) в критической точке: y″(0)=72⋅0=0 Так как вторая производная заданной функции обращается в ноль в критической точке, то мы не можем определить характер критической точки с ее Для определения характера критической точки воспользуемся первой производной. Исследуем знак f′(x) с числовой прямой: Рисунок 7. Так как производная заданной функции не меняет знак при переходе через критическую точку, то в данной точке нет ни максимума, ни минимума График заданной функции приведен на рис.8.

Пример 2.Исследовать заданную функцию на минимум и максимум: y=cos⁡x.       Решение: Поскольку заданная функция является периодической с периодом 2π, то можно ограничиться исследованием функции на отрезке [0;2π]. Найдем первую производную заданной функции: y′=(cos⁡x)′=−sin⁡x. Найдем критические точки: y′(x)=0;−sin⁡x=0 x1=0,x2=π,x3=2π.        Найдём вторую производную заданной функции: y″=(−sin⁡x)′=−cos⁡x. Исследуем знак f″(x) в критических точках: y''(0)=-cos 0=-1; y''(2π )=-1 Следовательно, в точках x1=0,x3=2π имеем максимум данной функции, а в точке x2=π - минимум данной функции. Вычислим значения заданной функции f(x) при каждом критическом значении переменной: y(0)=cos⁡0=1;y(π)=cos⁡π=−1;y(2π)=cos⁡2π=1 График заданной функции приведен на рис. Рисунок 9.