Из точки М проведён перпендикуляр МД = 6 см к плоскости квадрата. Наклонная МО образует с плоскостью квадрата угол 60º. О – точка пересечения диагоналей. Доказать, что ∆МОД – прямоугольный. Найти площадь квадрата

Добрый день!

Для доказательства того, что треугольник ∆МОД является прямоугольным, нам необходимо выполнить некоторые шаги.

Шаг 1: Найдем значение угла МОД.
У нас дано, что угол МОД равен 60º.
Поскольку угол МОД является внутренним углом треугольника, а сумма внутренних углов треугольника равна 180º, то можно записать уравнение: угол МОД + угол МО + угол ОМД = 180º.
Подставляя известные значения, получаем: 60º + 90º + угол ОМД = 180º.
Тогда угол ОМД = 30º.

Шаг 2: Проведем горизонтальную линию от точки О до прямой МД. Обозначим точку пересечения этой линии и МД как точку А.

Шаг 3: Посмотрим на треугольник МАО и рассмотрим отношение его сторон.
МО – это гипотенуза прямоугольного треугольника МОА, МД – это катет.
Мы знаем, что угол МОД равен 30º, а у нас есть прямоугольный треугольник МАО.
Поскольку угол МАО является противоположным углом катету МД, мы можем использовать теорему синусов для выражения отношения сторон.

Согласно теореме синусов, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла в прямоугольном треугольнике равно константе.
То есть MO/sin(30º) = MA/sin(90º).
Угол 90º представляет половину от всего треугольника, потому что прямоугольный треугольник является половиной круга, и сумма всех углов в круге равна 360º.
Таким образом, sin(90º) = 1 и sin(30º) = 1/2.
Тогда имеем MO/(1/2) = MA/1.
Это приводит нас к уравнению MO = 2*MA.

Шаг 4: Рассмотрим треугольник МДО.
Так как МД – это высота треугольника МДО и МО – это гипотенуза, мы можем использовать теорему Пифагора для выражения отношения длин сторон.
Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов двух катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы.
То есть МД² + ДО² = МО².

Шаг 5: Возвращаемся к факту, что МД = 6 см, поэтому МД² = 6² = 36.
Используя это значение, мы можем заменить МД² в нашем уравнении.
Получаем 36 + ДО² = МО².

Шаг 6: Теперь мы можем подставить MO = 2*MA в уравнение.
Получаем 36 + ДО² = (2*MA)² = 4*MA².

Шаг 7: Так как МА – это катет, мы можем использовать определение тангенса для выражения отношения МА к МД.
Тангенс угла МАД = МД/МА.
Мы знаем, что МД = 6 см, поэтому можем записать тангенс угла МАД = 6/МА.

Шаг 8: Решим уравнение в шаге 6, используя тангенс угла МАД.
36 + ДО² = 4*MA².
Так как МА является катетом, мы можем его заменить на 6/тангенс угла МАД.
36 + ДО² = 4*(6/тангенс угла МАД)².
Упрощая выражение, получаем 36 + ДО² = 4*36/(тангенс² угла МАД).
Так как 36 + ДО² = МО², мы можем заменить в выражении.
Получаем МО² = 4*36/(тангенс² угла МАД).

Шаг 9: Теперь мы можем сравнить полученные равенства.
Имеем 36 + ДО² = МО² и МО² = 4*36/(тангенс² угла МАД).
Так как оба выражения равны МО², то мы их можем сравнить:
36 + ДО² = 4*36/(тангенс² угла МАД).

Шаг 10: Значит, 36 + ДО² = 4*36/(тангенс² угла МАД) – выражение, которое мы можем упростить и привести к виду ДО² = 3*36/(тангенс² угла МАД).
Так как 3*36 = 108, получаем ДО² = 108/(тангенс² угла МАД).
Тангенс угла МАД = 6/МА, а значит, тангенс² угла МАД = (6/МА)².
Подставляя это значение в уравнение, получаем ДО² = 108/((6/МА)²).

Шаг 11: У нас есть, что МО = 2*МА. Тогда МА = МО/2.
Подставим это в выражение: ДО² = 108/((6/(МО/2))²).
Делаем упрощение: ДО² = 108/((6*2/МО)²) = 108/((12/МО)²) = 108/(12/МО)².
Так как 108/12 = 9, получаем ДО² = (9/МО)².

Шаг 12: Так как у нас есть МД = 6 см, то ДО = 6 см.
Тогда ДО² = 6² = 36.
Мы сравнивали значения ДО² в двух разных равенствах: ДО² = 108/(тангенс² угла МАД) и ДО² = (9/МО)².
Теперь мы можем сравнить выражения:
(9/МО)² = 108/(тангенс² угла МАД).
Упрощаем: (3/МО)² = 36/(тангенс² угла МАД).
Получаем (3/МО)² = (6/МА)².

Шаг 13: Мы знаем, что (3/МО)² = (6/МА)².
У нас также есть, что МО = 2*МА.
Подставляем и получаем (3/(2*МА))² = (6/МА)².
Возводим обе части уравнения в квадрат и получаем 9/(2*МА)² = 36/МА².
Можем упростить, получаем 9*МА² = 36*(2*МА)².
Раскрываем скобки: 9*МА² = 36*4*МА².
Упрощаем: 9*МА² = 144*МА².
Так как МА² не равен нулю, можно сократить его из обеих частей уравнения: 9 = 144.

Шаг 14: Мы пришли к противоречию. Уравнение 9 = 144 неверно, так как 9 и 144 – это разные числа.
Поэтому наше предположение о том, что треугольник ∆МОД не прямоугольный, неверно.
Треугольник ∆МОД является прямоугольным.

Теперь к площади квадрата.

Поскольку ∆МОД – прямоугольный треугольник, то ∆МОД является половиной прямоугольника, образованного квадратом.
То есть площадь ∆МОД равна половине площади квадрата.

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон.
Поэтому площадь ∆МОД = (МО * МД) / 2.

Мы также знаем, что МО = 2*МА, а МД = 6 см.
Подставляем эти значения и получаем площадь ∆МОД = (2*МА * 6) / 2.

Упрощаем выражение и получаем площадь ∆МОД = 6*МА.

Таким образом, площадь квадрата равна 6 умножить на МА.

Но нам дано значение МД = 6 см.
Поскольку МД – это сторона квадрата, то и площадь квадрата равна 6² = 36 см².

Таким образом, площадь квадрата равна 36 см².

Надеюсь, ответ был полным и понятным! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!