Исследуйте на экстремум функцию z = z(x, y) z = 4x^2 − 3xy + 2y^2 − 2x

Шаг 1

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

4x^{2}-3xy^{2}+2y^{2}-2x=z4x2−3xy2+2y2−2x=z

Шаг 2

Вычтите zz из обеих частей уравнения.

4x^{2}-3xy^{2}+2y^{2}-2x-z=04x2−3xy2+2y2−2x−z=0

Шаг 3

Объедините все члены, содержащие xx.

4x^{2}+\left(-3y^{2}-2\right)x+2y^{2}-z=04x2+(−3y2−2)x+2y2−z=0

Шаг 4

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0. Подставьте 44 вместо aa, -3y^{2}-2−3y2−2 вместо bb и 2y^{2}-z2y2−z вместо cc в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}2a−b±b2−4ac.

x=\frac{-\left(-3y^{2}-2\right)±\sqrt{\left(-3y^{2}-2\right)^{2}-4\times 4\left(2y^{2}-z\right)}}{2\times 4}x=2×4−(−3y2−2)±(−3y2−2)2−4×4(2y2−z)

Шаг 5

Возведите -3y^{2}-2−3y2−2 в квадрат.

x=\frac{-\left(-3y^{2}-2\right)±\sqrt{\left(3y^{2}+2\right)^{2}-4\times 4\left(2y^{2}-z\right)}}{2\times 4}x=2×4−(−3y2−2)±(3y2+2)2−4×4(2y2−z)

Шаг 6

Умножьте -4−4 на 44.

x=\frac{-\left(-3y^{2}-2\right)±\sqrt{\left(3y^{2}+2\right)^{2}-16\left(2y^{2}-z\right)}}{2\times 4}x=2×4−(−3y2−2)±(3y2+2)2−16(2y2−z)

Шаг 7

Умножьте -16−16 на 2y^{2}-z2y2−z.

x=\frac{-\left(-3y^{2}-2\right)±\sqrt{\left(3y^{2}+2\right)^{2}+16z-32y^{2}}}{2\times 4}x=2×4−(−3y2−2)±(3y2+2)2+16z−32y2

Шаг 8

Прибавьте \left(3y^{2}+2\right)^{2}(3y2+2)2 к -32y^{2}+16z−32y2+16z.

x=\frac{-\left(-3y^{2}-2\right)±\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{2\times 4}x=2×4−(−3y2−2)±9y4−20y2+16z+4

Шаг 9

Число, противоположное -3y^{2}-2−3y2−2, равно 3y^{2}+23y2+2.

x=\frac{3y^{2}+2±\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{2\times 4}x=2×43y2+2±9y4−20y2+16z+4

Шаг 10

Умножьте 22 на 44.

x=\frac{3y^{2}+2±\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}x=83y2+2±9y4−20y2+16z+4

Шаг 11

Решите уравнение x=\frac{3y^{2}+2±\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}x=83y2+2±9y4−20y2+16z+4 при условии, что ±± — плюс. Прибавьте 3y^{2}+23y2+2 к \sqrt{4+16z-20y^{2}+9y^{4}}4+16z−20y2+9y4.

x=\frac{\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}+3y^{2}+2}{8}x=89y4−20y2+16z+4+3y2+2

Шаг 12

Разделите 3y^{2}+2+\sqrt{4+16z-20y^{2}+9y^{4}}3y2+2+4+16z−20y2+9y4 на 88.

x=\frac{\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}+\frac{3y^{2}}{8}+\frac{1}{4}x=89y4−20y2+16z+4+83y2+41

Шаг 13

Решите уравнение x=\frac{3y^{2}+2±\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}x=83y2+2±9y4−20y2+16z+4 при условии, что ±± — минус. Вычтите \sqrt{4+16z-20y^{2}+9y^{4}}4+16z−20y2+9y4 из 3y^{2}+23y2+2.

x=\frac{-\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}+3y^{2}+2}{8}x=8−9y4−20y2+16z+4+3y2+2

Шаг 14

Разделите 3y^{2}+2-\sqrt{4+16z-20y^{2}+9y^{4}}3y2+2−4+16z−20y2+9y4 на 88.

x=-\frac{\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}+\frac{3y^{2}}{8}+\frac{1}{4}x=−89y4−20y2+16z+4+83y2+41

Шаг 15

Уравнение решено.

x=\frac{\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}+\frac{3y^{2}}{8}+\frac{1}{4}x=89y4−20y2+16z+4+83y2+41 x=-\frac{\sqrt{9y^{4}-20y^{2}+16z+4}}{8}+\frac{3y^{2}}{8}+\frac{1}{4}x=−89y4−20y2+16z+4+83y2+41