Исследуйте на четность функцию 1) y=x^5 - x^3
2) y=x^6 +2x^3
3) y= 5x^2 (дробная черта) x^2-7
4) y= x^2-4 (дробная черта) x^2+3x

Добрый день! Рад принять вашу роль школьного учителя и помочь разобраться с задачей.

1) Функция y = x^5 - x^3:
Чтобы исследовать эту функцию на четность, нужно проверить, является ли она симметричной относительно оси ординат (ось y).

a) Пусть x = a, где a - произвольное действительное число. Тогда y(a) = a^5 - a^3.
b) Пусть x = -a, где a - то же самое произвольное действительное число. Тогда y(-a) = (-a)^5 - (-a)^3.

Если при подстановке аргумента x вместо x и -x вместо x получаем одинаковый результат, то функция будет четной, то есть будет симметричной относительно оси ординат.

Проверим:
1) Подставим вместо x значение a: y(a) = a^5 - a^3.
2) Подставим вместо x значение -a: y(-a) = (-a)^5 - (-a)^3.

Получаем:
y(a) = a^5 - a^3
y(-a) = (-a)^5 - (-a)^3 = -a^5 + a^3 = -(a^5 - a^3).

Мы видим, что y(a) и y(-a) получаются с разными знаками (одна положительная, другая отрицательная). Это означает, что функция не является симметричной относительно оси ординат, т.е. не является четной.

2) Функция y = x^6 + 2x^3:
Также, чтобы исследовать эту функцию на четность, нужно проверить, является ли она симметричной относительно оси ординат (ось y).

a) Пусть x = a, где a - произвольное действительное число. Тогда y(a) = a^6 + 2a^3.
b) Пусть x = -a, где a - то же самое произвольное действительное число. Тогда y(-a) = (-a)^6 + 2(-a)^3.

Если при подстановке аргумента x вместо x и -x вместо x получаем одинаковый результат, то функция будет четной, то есть будет симметричной относительно оси ординат.

Проверим:
1) Подставим вместо x значение a: y(a) = a^6 + 2a^3.
2) Подставим вместо x значение -a: y(-a) = (-a)^6 + 2(-a)^3 = a^6 + 2a^3.

Получаем:
y(a) = a^6 + 2a^3
y(-a) = a^6 + 2a^3.

Мы видим, что y(a) и y(-a) получаются с одинаковыми значениями и знаками. Это означает, что функция является симметричной относительно оси ординат, т.е. является четной.

3) Функция y = 5x^2 / (x^2 - 7):
Для исследования на четность, нужно также проверить, является ли функция симметричной относительно оси ординат (ось y).

a) Пусть x = a, где a - произвольное действительное число. Тогда y(a) = 5a^2 / (a^2 - 7).
b) Пусть x = -a, где a - то же самое произвольное действительное число. Тогда y(-a) = 5(-a)^2 / ((-a)^2 - 7).

Если при подстановке аргумента x вместо x и -x вместо x получаем одинаковый результат, то функция будет четной, то есть будет симметричной относительно оси ординат.

Проверим:
1) Подставим вместо x значение a: y(a) = 5a^2 / (a^2 - 7).
2) Подставим вместо x значение -a: y(-a) = 5(-a)^2 / ((-a)^2 - 7).

Получаем:
y(a) = 5a^2 / (a^2 - 7)
y(-a) = 5a^2 / (a^2 - 7).

Мы видим, что y(a) и y(-a) получаются с одинаковыми значениями. Однако, это не означает, что функция является четной. Для дальнейшей проверки, нужно еще проверить, является ли функция четной числовым методом.

Очевидно, что a^2 - 7 не может быть равным нулю, так как в знаменателе не должно быть нулей. А это значит, что функция не определена при x = ±√7.
Это означает, что функция не является симметричной относительно оси ординат, не определена в точках x = ±√7.

4) Функция y = x^2 - 4 / (x^2 + 3x):
Для исследования на четность, нужно также проверить, является ли функция симметричной относительно оси ординат (ось y).

a) Пусть x = a, где a - произвольное действительное число. Тогда y(a) = a^2 - 4 / (a^2 + 3a).
b) Пусть x = -a, где a - то же самое произвольное действительное число. Тогда y(-a) = (-a)^2 - 4 / ((-a)^2 + 3(-a)).

Если при подстановке аргумента x вместо x и -x вместо x получаем одинаковый результат, то функция будет четной, то есть будет симметричной относительно оси ординат.

Проверим:
1) Подставим вместо x значение a: y(a) = a^2 - 4 / (a^2 + 3a).
2) Подставим вместо x значение -a: y(-a) = (-a)^2 - 4 / ((-a)^2 + 3(-a)).

Получаем:
y(a) = a^2 - 4 / (a^2 + 3a)
y(-a) = a^2 - 4 / (a^2 - 3a).

Мы видим, что y(a) и y(-a) получаются с разными знаками (одна положительная, другая отрицательная). Это означает, что функция не является симметричной относительно оси ординат, т.е. не является четной.

Таким образом, исследовали функции на четность и пришли к следующим результатам:
1) Функция y = x^5 - x^3 не является четной.
2) Функция y = x^6 + 2x^3 является четной.
3) Функция y = 5x^2 / (x^2 - 7) не определена на участке x = ±√7 и не является четной.
4) Функция y = x^2 - 4 / (x^2 + 3x) не является четной.

Если возникли еще вопросы или нужно разъяснение по решению, буду рад помочь!