Исследуйте и постройте график функции: 1/3x^3-x^2-3x+4

1) D(y)=(–∞;0)U(0;+ ∞)lim(x→

f(–0)=–∞

f(+0)=+ ∞

х=0 – точка разрыва второго рода

х=0 – вертикальная асимптота.

2) Функция не является ни четной, ни нечетной.

у(–х)=(–х)3+1/(–x)2=(–x3+1)/x2

y(–x)≠y(x)

y(–x)≠–y(x)

3limx→ +∞)f(x)=+∞

limx→–∞f(x)=–∞.

4)

Наклонная асимптота

k=limx→+∞(x3+1)/x3=1

b=limx→+∞(f(x)–x)=limx→+∞1/x2=0

y=x– наклонная асимптота.

5) f(x)=0

x3+1=0

x=–1

f(0)=не существует.

Точек пересечения с осью Оу нет.

6)y`=(3x2·x2–2x·((x3+1))/(x2)2;

y`=(3x4–2x4–2x))/(x4);

y`=(x3–2))/(x3);

y`=0

x=∛2 – точка минимума, производная меняет знак с – на +

Знак производной:

___– (0) __–__ (∛2 ) __+__

у убывает у убывает у возрастает

у(∛2)=(2+1)/∛4=3/∛4

7)y``=((x3–2)/x3)`=(1–(2x–3)`=(6/x4) > 0

при всех х≠0

Функция выпукла вниз

Точек перегиба нет.