Исследуйте функцию на монотонность.
f(x) =4x-8
f(x)=4x^2+8x+3

f(x)=4x4−4x3+4x2

Найдем производную:

f'(x)=4\cdot 4x^3-4\cdot3x^2+4\cdot2x=4x(4x^2-3x+2)f′(x)=4⋅4x3−4⋅3x2+4⋅2x=4x(4x2−3x+2)

Найдем нули производной:

\begin{gathered}4x(4x^3-3x^2+2x)=0 \\\ x_1=0 \\\ 4x^2-3x+2=0 \\\ D=(-3)^2-4\cdot4\cdot2=9-32\ \textless \ 0\end{gathered}4x(4x3−3x2+2x)=0 x1=0 4x2−3x+2=0 D=(−3)2−4⋅4⋅2=9−32 \textless 0

Функция имеет одну точку экстремума x=0x=0 - точка минимума

При x \geq 0x≥0 производная функции f'(x) \geq 0f′(x)≥0 . Значит, при x \geq 0x≥0 функция возрастает.

При x \leq 0x≤0 производная функции f'(x) \leq 0f′(x)≤0 . Значит, при x \leq 0x≤0 функция убывает

Функция имеет одну точку экстремума x=0x=0 - точка минимума

При x \geq 0x≥0 производная функции f'(x) \geq 0f′(x)≥0 . Значит, при x \geq 0x≥0 функция возрастает.

При x \leq 0x≤0 производная функции f'(x) \leq 0f′(x)≤0 . Значит, при x \leq 0x≤0 функция убывает

f(x)=4x4−4x3+4x2

Найдем производную:

f'(x)=4\cdot 4x^3-4\cdot3x^2+4\cdot2x=4x(4x^2-3x+2)f′(x)=4⋅4x3−4⋅3x2+4⋅2x=4x(4x2−3x+2Найдем нули производной:

\begin{gathered}4x(4x^3-3x^2+2x)=0 \\\ x_1=0 \\\ 4x^2-3x+2=0 \\\ D=(-3)^2-4\cdot4\cdot2=9-32\ \textless \ 0\end{gathered}4x(4x3−3x2+2x)=0 x1=0 4x2−3x+2=0 D=(−3)2−4⋅4⋅2=9−32 \textless 0

Функция имеет одну точку экстремума x=0x=0 - точка минимумаПри x \geq 0x≥0 производная функции f'(x) \geq 0f′(x)≥0 . Значит, при x \geq 0x≥0 функция возрастает.

При x \leq 0x≤0 производная функции f'(x) \leq 0f′(x)≤0 . Значит, при x \leq 0x≤0 функция убывает