Исследуйте функцию f(x)=8x^2-x^4-7 !

Исследовать функцию и построить график 

1) Область определения функции. Функция определена на всей числовой оси, то есть 


2) Точки пересечения графика функции с осью OY
    точка пересечение (0; -7)

Тоски пересечения с осью ОХ, т.е. у=0, тогда

Пусть x² = t, тогда

Корни квадратного уравнения t=1 и  t=7

Сделаем обратную замену

Получили еще четыре точки 

3) Исследуем функции на четность

Так как  , то функция является четной

4) Функция не имеет точек разрыва, поэтому график не имеет вертикальных асимптот.

Найдем наклонные асимптоты   , где

Наклонных асимптот тоже нет. 

5) Найдем экстремумы функции. Для это найдем производную y' и приравняем ее к нулю y' = 0

 Тогда

Получились три критические точки.

Эти точки разбивают область определения на четыре интервала. Находим знак производной  f'(x)  в каждом из интервалов 

На первом x < -2 , f'(x) > 0 - функция возрастает

На первом -2 < x < 0 , f'(x) < 0 - функция убывает

На первом 0 < x < 2 , f'(x) > 0 - функция возрастает

На первом x > 2 , f'(x) > 0 - функция убывает

Таким образом в при х=-2 и х = 2 - тока максимума,

                        а при х = 0 - тока минимума.