Исследовать свойства функции и построить ее график y= -x^3+12x^2-45x+47

ДАНО:Y(x) = -x³ + 12*x² -45*x + 47

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Пересечение с осью OХ.  

x₁ = 1.72 - без комментариев. Двух других нулей - нет.

3. Интервалы знакопостоянства.

Y>0  x∈(-∞;x₁= 1.72)   Y<0 x∈(x₁=1.72;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   47

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  -3*x² + 24*x - 45 = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ =5    Х₅=3

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  5) = -3.   Минимум - Ymin(X₅ = 3) = -7

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Убывает Х∈(-∞;3;]U[5;+∞) ,возрастает - Х∈[3;5]

12. Вторая производная - Y"(x) = -6* x + 24 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆ = 4

13. Выпуклая “горка» Х∈(Х₆ = 4;+∞)

Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;Х₆ = 4).

14. График в приложении.