1. Математика
  2. исследовать сходимость

исследовать сходимость ряда

Kinder1644 Kinder1644    3   13.04.2020 22:56    0

Ответы
Илья164Умникум Илья164Умникум  30.07.2020 12:49

\beta\in[0;1]:\\ \alpha\geq 0: \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{n}}=\alpha

Тогда, по признаку Коши, при \alpha\in[0;1) ряд сходится, при \alpha 1 расходится.

При \alpha=1 имеем \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\beta^n+n}\geq \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n+1}= \sum\limits_{k=2}^\infty\dfrac{1}{k} Гармонический ряд расходится, а тогда исходный ряд расходится по признаку сравнения.

\alpha

При \alpha\in(-1;0) ряд сходится, т.к. ряд из модулей (по доказанному выше) сходится.

\alpha\lim\limits_{n\to\infty}{|\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{|\alpha|^n}{n}}=+\infty необходимое условие не выполнено, а значит ряд расходится.

\alpha=-1= a_{n+1} , а тогда по признаку Лейбница ряд сходится.

\beta1:\\ \alpha\geq 0: \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\alpha^n}{\beta^n}}=\dfrac{\alpha}{\beta}

Тогда при \alpha ряд сходится, при \alpha\beta расходится.

\alpha=\beta=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{\beta^n}{\beta^n+n}}=1 - необходимое условие не выполнено, ряд расходится.

\alpha

Тогда при \alpha-\beta ряд сходится.

При \alpha=-\beta необходимое условие не выполнено, ряд расходится.

\alpha|\alpha|=-\alpha\beta\\=\lim\limits_{n\to\infty}{|\dfrac{\alpha^n}{\beta^n+n}|}=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac{|\alpha|^n}{\beta^n}}=+\infty необходимое условие не выполнено, ряд расходится.

По итогу ряд сходится только на [-1;1)\times[0;1] \;\;\bigcup\;\; (-\beta;\beta)\times[\beta;+\infty),\forall\beta1

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Dan363 Dan363  11.05.2021 06:08
Итоговая контрольная работа за курс девятилетней школы ) 7 заданий на фото...
зика20 зика20  11.05.2021 06:07
верверека длинна которой 40 м раздели на две части. Длина одной части состовляет 20%-ов всей длинны верверки. Найди длину второй части.​...
ficatucivi ficatucivi  11.05.2021 06:07
Постройте график прямой пропорциональности y = 3x.​...
Graffiti1337 Graffiti1337  11.05.2021 06:02
РАБОТА В ПАРЕ 4Определи порядок действий и вычисли значения выра-жений.5 212 036 - (28 175 : 35+ 403 - 208 - 1242:18). 7897 744 : 472 +251 - 84 - (69.391 - 66 112:...
vladislava240203444 vladislava240203444  17.05.2019 21:50
Втеплице срезали 9 роз,15 лилий,33гвоздики.каждый из этих видов цветов разложили на равные части,в каждой из которых больше, чем по одному цветку.после этого взяли...
mmrkrolik mmrkrolik  17.05.2019 21:50
Найди длину окружности ,если её радиус равен 12 см (п=3,14) найди длину окружности , если её диаметр равен 13 см(п=3,14) найдите радиус и диамер окружности ,если её...
nadiacolupaeva nadiacolupaeva  17.05.2019 21:50
Запиши выражения : а увеличить на 2, а увеличить в 2 раза, а уменьшить на 2, а уменьшить в два раза. : 1) коля прочитал а книг,а его брат на - в 4 раза больше.скока...
111110098735280 111110098735280  17.05.2019 21:50
Найти 3-х число равное кубу суммы его цифр....
Kamilla1472 Kamilla1472  17.05.2019 21:50
Скорость катера против течения реки 17 2/5 км/ч а собственная скорость катера 19 км/ч . найдите скорость течения реки и скорость по течению....
Алиналабвдк Алиналабвдк  17.05.2019 21:50
За подготовку рукописи книги к печати два оператора получили 3500 грн.один из них подготовил 98 страниц, а второй-42 станицы.какую сумму денег получил каждый оператор...

Популярные вопросы