:исследовать на монотонность и экстремумы 1) y=4x-x^2-3 ; 2) y=x^3-6x^2

Ответы

OligCh 07.10.2020 05:48

Напомню, что для этого нам нужно найти производную, приравнять ее к нулю, решить получившее уравнение (его корни будут критическими точками) и посмотреть, меняет ли в критических точках производная знак на противоположный. Если да, то это точка эктремума. Если меняется плюс на минус - максимум, если минус на плюс - минимум. Те промежутки, на которых производная отрицательна - промежутки убывания; на которых производная положительна - это промежутки возрастания функции.

Приступим.

1)

$y=4x-x^2-3 \\ y'=4-2x \\ 4-2x=0 \\ 2x=4 \\ x=2$

Если х<2 (т.е. на промежутке (-∞; 2), производная положительна, а функция возрастает.
Если x>2 (т.е. на промежутке (2; +∞), производная отрицательна, функция убывает.
Следовательно, точка х = 2 является точкой максимума. Функция в этой точке принимает значение

$y _{max} =y(2)=4*2-2^2-3=8-4-3=1$

2)
$y=x^3-6x^2 \\ y'=3x^2-12x \\ 3x^2-12x=0 \\ 3x(x-4)=0 \\ x_1=0;x_2=4$

Мы нашли критические точки. Рассмотрим на числовой прямой промежутки, образованные этими точками:
x<0, или х ∈ (-∞; 0) производная положительна, функция возрастает;
0<x<4, или х ∈ (0; 4) производная отрицательна, функция убывает;
x>4, или х ∈ (4; +∞) производная положительна, функция возрастает.

Т.е. в нуле мы имеем максимум: $y _{max} =y(0)=0^3-6*0^2=0$
В точке 4 - минимум: $y _{min} =y(4)=4^3-6*4^2=64-6*16=-32$