Исследовать на экстремум функцию z=3x^3+3y^3-9xy+10

сначала извлекаешь производную, потом решаешь квадратное уровнение, чертишь прямую, отмечаешь точки минимума и максимума, потом смотришь где возрастает и убывает

z=3x^3+3y^3-9xy+10

1)
z'x=9x^2-9y=0
z'y=9y^2-9x=0

9x^2-9y^2-9y+9x=0 (1)-(2) или 
9x^2-9y=0

9(x-y)(x+y)+9(x-y)=9(x-y)(x+y+1)=0
9x^2-9y=0

a) 
y=x
9x^2-9x=9x(x-1)=0 
получаем x1=0 y1=0 и x2=1 y2=1

b) y=-1-x
9x^2-9(-1-x)=9x^2+9x+9=9(x^2+x+1)=0
корней нет

2) 
z''xx=18x
z''yy=18y
z''xy=z'yx=-9
D(x,y)=z'xx*z'yy-z'xy*z'xy

a) 
x1=0 y1=0 
z''xx(0,0)=0
z''yy(0,0)=0
z''xy(0,0)=z'yx(0,0)=-9
D(x,y)=0*0-(-9)*(-9)=-81<0 - экстремума нет

b) 
x2=1 y2=1
z''xx(1,1)=18
z''yy(1,1)=18
z''xy(1,1)=z'yx(1,1)=-9
D(x,y)=18*18-9*9>0 и z''xx(1,1)=18>0
значит точка (1,1) - точка локального минимума
z(1,1)=3+3-9+10=7

но учтываем также, что на ОДЗ minz=-бесконечность, maxz=+бесконечность