Исследовать на экстремум функцию y=x^4-8x^2

Дано: y = x⁴ - 8*x²

Исследование:

1. Область определения: D(y)= R, X∈(-∞;+∞)

2. Непрерывная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет

3.Поведение на бесконечности. Y(-∞)= +∞, Y(+∞)= +∞. -

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x)=0.

Применим метод подстановки. Z = x².    z² + -8*z = 0

Нули функции: x1=-2,83, x2= x3 = 0,  x4=2,83

5. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: Y(x) ≥0 - X∈(-∞;-2.83]∪[2.83;+∞)

отрицательна: Y(x)≤0 -X∈[-2.83;2.83] .

6. Проверка на чётность. Все степени при Х: 4, 2, 0 - чётные.

Функция чётная: Y(-x) = Y(x)

7. Поиск экстремумов по первой производной.  

y'(x) = 4*x³ - 16*x = 4*x*(x² - 4) = 4*x*(x-2)*(x+2) = 0

Корни производной - точки экстремумов: x₅=-2, x₆ = 0, x₇ = 2.

8. Локальные экстремумы.

Минимумы (два)  при x₅ = x₇ = -2.   Ymin(-2) = -16 - ответ,

Максимум (один) при х₆ = 0.  Ymax(0) = 0 - ответ

Дополнительно (пригодится)

Точки перегиба в корнях второй производной.

y"(x) = 12*x² - 16 = x² - 4/3

x₈ = -√(4/3) = - 1.15, x₉ = 1.15

График функции и шаблон для описания - в приложении.