Исследовать функцию с производной, решите одно из: ​

ДАНО:Y(x) = -x³ + 3*x²

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители. Y=(x-0)*(x-0)*(x-3)

Нули функции: Х₁ = Х₂ =0,  Х₃ =3

6. Интервалы знакопостоянства.

Положительная - Y(x)>0 X∈(-∞;0]U[0;3]  

Отрицательная - Y(x)<0 X∈[0;0]U[3;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) =   0

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные степени - функция общего вида.

Y(-x) ≠ Y(x) - не чётная. Y(-x) ≠ -Y(x),  Функция ни чётная, ни нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  -3*x² + 6*x  = 0

Корни Y'(x)=0.     Х₄ =2    Х₅=0

Производная отрицательна  между корнями - функция убывает.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(X₄=  2) =4.   Минимум - Ymin(X₅ =  0) =0

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Убывает Х∈(-∞;0;]U[2;+∞) ,возрастает - Х∈[0;2]

12. Вторая производная - Y"(x) = -6* x +6 = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= 1

13. Вогнутая “ложка» Х∈(-∞; Х₆ = 1]

Выпуклая – «горка» Х∈[Х₆ = 1; +∞).

14. График в приложении.