Исследовать функцию на экстремум y=-1/3x^3+1/2x^2+2

Решение- в приложении

Для исследования функции на экстремум нам понадобятся некоторые понятия из математического анализа. В данном случае, мы будем исследовать функцию y = (-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2 на наличие экстремумов.

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала, найдем производную данной функции. Производная позволяет нам определить, где функция имеет максимум или минимум.

Производная функции y = (-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2 равна:
y' = -x^2 + x

Шаг 2: Найдем точки, в которых производная равна нулю

Для того чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, нужно решить уравнение -x^2 + x = 0.

Вынесем общий множитель:
x(-x + 1) = 0

Из этого уравнения мы можем получить два значения для x: x = 0 и x = 1.

Они представляют собой потенциальные точки экстремума.

Шаг 3: Найдем значения функции в найденных точках и в концах области определения

Теперь, нам нужно найти значения функции y в точках x = 0, x = 1 и в концах области определения функции, если они существуют.

Для x = 0:
y = (-1/3)(0)^3 + (1/2)(0)^2 + 2 = 2

Для x = 1:
y = (-1/3)(1)^3 + (1/2)(1)^2 + 2 = -1/3 + 1/2 + 2 = 11/6

Так как функция является кубической, она не имеет конечной области определения.

Шаг 4: Исследуем природу найденных точек

Теперь, когда у нас есть значения функции в найденных точках, мы можем определить природу этих точек.

- Для x = 0, y = 2. Эта точка представляет собой локальный минимум функции, так как значения слева и справа от этой точки выше 2.
- Для x = 1, y = 11/6. Эта точка представляет собой локальный максимум функции, так как значения слева и справа от этой точки ниже 11/6.

Шаг 5: Построение графика функции

Наконец, мы можем построить график функции для лучшего визуального представления.

График функции y = (-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2 будет иметь форму "воронки", где точки (0, 2) и (1, 11/6) представляют собой точки экстремума (локальный минимум и локальный максимум соответственно).