Исследовать функцию, и построить график.

Дано: y = 2*x²/(x-3),

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения: D(y)= X≠  , X∈(-∞;3)∪(3;+∞).

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2. Разрыв II-го рода при Х = 3. Вертикальных асимптота  - Х = 3.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x =lim(+∞) 2*x/(x-3) = 2

b =lim(+∞) 6*x/(x-3) = 6 и y(x) = 2*x + 6 - асимптота.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

2*x² = 0 . Нуль функции: y(0) = 0.  

Пересечение с осью ОУ: х = 0.

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;3). Положительна: Y>0 - X∈(3;+∞;)  

6. Проверка на чётность. Есть сдвиг по оси ОХ - нет симметрии ни осевой ни центральной.  

Функция общего фида - ни чётная, ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) , Y(-x)≠ Y(x).    7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 4*x/(x-3)- 2*x²/(x-3)² = 2*x*(x-6)/(x-3)² = 0.  

x1 = 0,  x2 = 6 - точки экстремумов.  

8. Локальный максимум: y(0) = 0, минимум: y(3) = 24.  

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈(-∞;0)∪(6;+∞).  Убывает: X∈(0;3)∪(3;6).  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 36/(x-3)³ = 0  

Точки перегиба нет, кроме разрыва при Х = 3.      

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(3;+∞;), выпуклая - "горка" - X∈(-∞;3);    

12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.