Исследовать функцию и построить её график

ее график.

Решение. 1) Область определения функции.

D(y):x2−2x≠0⇒x1≠0,x2≠2⇒

⇒x∈(−∞;0)∪(0;2)∪(2;+∞)

2) Четность, нечетность.

y(−x)=(−x)2−(−x)−1(−x)2−2⋅(−x)=x2+x+1x2+2x≠{y(x)−y(x)

Функция общего вида.

3) Точки пересечения с осями.

а) с осью Ox:y=0 :

x2−x−1x2−2x=0⇒x2−x−1=0⇒

⇒x1=1+5√2,x2=1−5√2

то есть точки A1(1+5√2;0),A2(1−5√2;0)

б) с осью Oy:x=0 : в данной точке функция неопределенна.

4) Асимптоты.

а) вертикальные: прямые x=0 и x=2 - вертикальные асимптоты.

б) горизонтальные асимптоты:

limx→∞x2−x−1x2−2x=1

то есть прямая y=1 - горизонтальная асимптота.

в) наклонные асимптоты y=kx+b :

k=limx→∞x2−x−1x(x2−2x)=0

Таким образом, наклонных асимптот нет.

5) Критические точки функции, интервалы возрастания, убывания.

y′=(x2−x−1x2−2x)′=(2x−1)(x2−2x)−(x2−x−1)(2x−2)(x2−2x)2=

=2x3−4x2−x2+2x−(2x3−2x2−2x2+2x−2x+2)(x2−2x)2=

=2x3−5x2+2x−2x3+4x2−2(x2−2x)2=−x2+2x−2(x2−2x)2

Найдем точки, в которых первая производная равна нулю или не существует: y′≠0 для любого x из области определения функции; y′ не существует при x1=0 и x2=2 .

Таким образом, функция убывает на всей области существования. Точек экстремума нет.

6) Точки перегиба, интервалы выпуклости, вогнутости.

y′′=(y′)′=(−x2+2x−2(x2−2x)2)′=

=(−2x+2)(x2−2x)2−(−x2+2x−2)⋅2(x2−2x)(2x−2)(x2−2x)4=

=(−2x+2)(x2−2x)−(−x2+2x−2)⋅2(2x−2)(x2−2x)3=

=−2x3+6x2−4x+4x3−12x2+16x−8(x2−2x)3=

=2x3−6x2+12x−8(x2−2x)3

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует: y′′=0:x=1 ; при x=0 и x=2 вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках (0;1) и (2;+∞) функция вогнута, а на промежутках (−∞;0) и (1;2) - выпукла. Так как при переходе через точку x=1 вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

Читать первую тему - понятие