Исследовать функцию f(x)=(6x-6)/(x^2+3) и построить её график

Исследование функции f(x)=(6x-6)/(x^2+3), её график и таблица точек для построения приведены во вложении.

Добрый день! Давайте разберемся с вашим вопросом.

Нам нужно исследовать функцию f(x) = (6x-6)/(x^2+3) и построить ее график. Для начала, давайте проведем анализ функции.

1. Найдем область определения функции. Областью определения будет множество всех действительных чисел, за исключением тех x, при которых знаменатель функции равен нулю. Таким образом, мы должны решить уравнение x^2 + 3 = 0. Однако данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат не может быть отрицательным. Следовательно, областью определения функции является множество всех действительных чисел.

2. Проанализируем поведение функции на бесконечностях. Когда x стремится к плюс или минус бесконечности, числитель функции растет быстрее, чем знаменатель. Поэтому пределы функции при x -> +/- бесконечность равны +/- бесконечность. Это позволяет нам сказать, что асимптотами функции являются горизонтальные прямые y = 0 (ось абсцисс).

3. Найдем производную функции f(x). Для этого используем правило дифференцирования частного функций и правило дифференцирования композиции функций. Производная функции будет равна f'(x) = [(6 * (x^2 + 3)) - (6x-6) * (2x)] / (x^2 + 3)^2. Упрощая, получаем f'(x) = (12x^2 + 18x + 18) / (x^2 + 3)^2.

4. Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение 12x^2 + 18x + 18 = 0. Дискриминант данного квадратного уравнения равен D = 18^2 - 4 * 12 * 18 = 324 - 864 = -540. Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Получается, что производная функции не обращается в ноль ни в одной точке и не имеет точек разрыва. Следовательно, функция не имеет экстремумов и не меняет свой наклон.

5. Рассмотрим поведение функции на интервалах.

На интервале (-∞, 0) знаки числителя и знаменателя будут одинаковыми (когда x < 0). При отрицательных значениях x, знаменатель всегда больше нуля, так как это квадрат с положительным коэффициентом. Таким образом, при x < 0 числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, и f(x) > 0.

Аналогично, на интервале (0, +∞) знаки числителя и знаменателя также будут одинаковыми (когда x > 0). При положительных значениях x, числитель всегда больше нуля, так как 6x - 6 > 0 при x > 1. Знаменатель также положителен, так как это квадрат с положительным коэффициентом. Таким образом, при x > 0 числитель и знаменатель имеют одинаковый знак, и f(x) > 0.

Таким образом, функция положительна на всей числовой прямой, за исключением x = 0, где функция не определена.

6. Теперь, давайте построим график функции f(x). Для этого мы можем использовать знания об асимптотах, о поведении функции на бесконечностях и на интервалах.

График функции будет иметь асимптоты y = 0 (ось абсцисс) при x -> -∞ и x -> +∞. График будет представлять собой график гиперболы, у которой асимптотой является ось абсцисс и она не будет пересекать её. Также на графике будет точка разрыва в x = 0, где функция не определена.

Рассмотрите пример графика функции f(x): https://i.imgur.com/8SNkAkW.png
На данном графике видно, что функция f(x) положительна на всей числовой прямой, за исключением x = 0, где график функции разрывается.

Вот и все! Если у вас есть еще вопросы, я с радостью на них отвечу.