Исследовать функции на монотонность и экстремулы.

ДАНО: y(x) = x/(x²+1)

ИССЛЕДОВАНИЕ (полное - не нужное - исключить).

1. Область определения функции.

D(y) = R = (-∞;+∞) - непрерывная.

2. Вертикальных асимптот - нет - нет разрывов.

3. Периодичность - нет - не тригонометрическая.

4. Пересечение с осями координат.

С осью ОХ:  Y=0 при Х = 0 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = 0.

5. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: y(x)<0:  X∈(-∞;0). Положительна: y(x)≥0: X∈[0;+∞).

6. Проверка на чётность.

y(-x) = - y(x) -  функция нечётная.

7. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -2*x²/(x²+)² - 1/(x²+1) = (1 - x²)/(x²+1)² = 0

В числителе:  1-x² = (1 - x)*(1 + x) = 0

x1 = - 1,  x2 = 1 - точки экстремумов.

8. Локальные экстремумы.

Минимум: y(-1) = -0.5, максимум: y(1) = 0.5.

9. Интервалы монотонности.

Производная отрицательная -  функция убывает. Функция непрерывная - квадратные скобки на границах.

Убывает: X∈(-∞;-1]∪[1;+∞), возрастает: X∈[-1;1].

10. Вторая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = - 4*x*(1-x²)/(x²+1)³ - 2*x/(x²+1)² = 2*x*(x²-3)/(x²+1)³ = 0

x² - 3 = 0,   x1 = 0, x2 = -√3, x3 = √3 - точки перегиба.

11. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-√3]∪[0;√3].

Вогнутая - "ложка" - X∈[-√3;0]∪[√3;+∞)

12. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim(∞) Y(x)/x = 0.

b = lim(∞)Y(x) - k*x = 0

Горизонтальная асимптота:  y = 0.

13. Рисунок с графиками исследования - в приложении.