Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство (3y-2)(3y+2)<13y2+12y+7

Добрый день! Для решения данного неравенства мы воспользуемся методом выделения квадрата двучлена.
Неравенство, которое нам дано, выглядит следующим образом: (3y-2)(3y+2) < 13y^2 + 12y + 7.

Шаг 1: Выполним умножение на левой стороне неравенства, чтобы получить квадрат двучлена:
(3y)^2 - (2)^2 < 13y^2 + 12y + 7.

Шаг 2: Получим также квадраты двучленов на правой стороне неравенства:
9y^2 - 4 < 13y^2 + 12y + 7.

Шаг 3: Теперь сгруппируем все члены, содержащие переменную y на одну сторону, а свободные члены на другую сторону неравенства:
9y^2 - 13y^2 - 12y - 4 - 7 < 0.

Шаг 4: Выполним сокращение подобных членов:
-4y^2 - 12y - 11 < 0.

Шаг 5: Чтобы доказать это неравенство, мы используем процесс факторизации. Найдем двучлены, которые могут быть умножены, чтобы получить -4 и -11. Попробуем разложить число -4:
-4 = (-1) * 4 = (2) * (-2).

Шаг 6: Разложим также число -11:
-11 = (-1) * 11.

Теперь, используя эти разложения, записываем:
-4y^2 - 12y - 11 < 0
(-2y-1)(2y+11) < 0.

Шаг 7: Теперь проверим знаки полученных двучленов по двум интервалам:
1) (-∞, -11/2)
2) (-11/2, ∞)

Шаг 8: Для первого интервала (-∞, -11/2) получаем следующие знаки:
-2y-1 > 0 (потому что (-2y-1) умножается на положительное число) ===> y < -1/2.
2y+11 > 0 (потому что (2y+11) умножается на положительное число) ===> y > -11/2.

Шаг 9: Для второго интервала (-11/2, ∞) получаем следующие знаки:
-2y-1 < 0 (потому что (-2y-1) умножается на отрицательное число) ===> y > -1/2.
2y+11 < 0 (потому что (2y+11) умножается на отрицательное число) ===> y < -11/2.

Шаг 10: Теперь собираем все полученные результаты:
-∞ < y < -11/2 и -1/2 < y < ∞.

Таким образом, получаем, что решение данного неравенства - это интервал (-∞, -11/2) объединенный с интервалом (-1/2, ∞).

Надеюсь, вам стало понятно, как мы решали это неравенство, и вы усвоили материал! Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать!