Функция y = f ( x ) четна и периодична на всей числовой прямой.
Число 12 является периодом этой функции.
На отрезке [0;5] функция задана формулой f ( x ) = 5 x − x 2 , а на отрезке [5; 6] функция задана формулой f ( x ) = 5 − x .
Найдите количество всех нулей этой функции, расположенных на отрезке [-7; 6].

Для начала, давайте разберемся с определением четной и периодической функции.

Функция называется четной, если для любого значения x ее значения f(x) и f(-x) равны. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется периодической, если существует такое число T (период), при котором для любого значения x функции f(x) и f(x + T) равны. Это означает, что график функции повторяется через определенные интервалы.

Теперь, если число 12 является периодом функции f(x), то можно сделать вывод, что f(x) = f(x + 12) для всех x.

У нас есть две части функции, заданные на разных отрезках: [0;5] и [5;6]. Для удобства, проанализируем каждую часть по отдельности.

На отрезке [0;5] функция задана формулой f(x) = 5x - x^2.

Для нахождения нулей функции, необходимо найти значения x, при которых f(x) = 0. То есть, мы будем искать решения уравнения 5x - x^2 = 0.

Для этого, можно преобразовать наше уравнение к виду x^2 - 5x = 0. Затем, мы можем вынести общий множитель x: x (x - 5) = 0.

Таким образом, мы получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 5.

Теперь перейдем ко второй части функции, заданной на отрезке [5;6]. Здесь функция задана формулой f(x) = 5 - x.

Для нахождения нулей функции, необходимо найти значения x, при которых f(x) = 0. Это означает, что мы должны решить уравнение 5 - x = 0.

Просто выражая x из этого уравнения, мы получаем x = 5.

Итак, мы нашли два нуля функции на отрезке [0;5] (x = 0 и x = 5) и один ноль функции на отрезке [5;6] (x = 5).

Осталось проверить, сколько нулей функции расположено на отрезке [-7; 6].

Мы знаем, что функция y = f(x) четна и периодична с периодом 12. То есть, если x - это ноль функции, то и -x, x + 12 и -x + 12 также будут нулями функции.

Поскольку нам интересен только отрезок [-7; 6], мы можем ограничиться рассмотрением значений x в этом интервале.

Для нашей конкретной функции, мы уже знаем, что на отрезке [0;5] у нас есть два нуля (x = 0 и x = 5), и на отрезке [5;6] у нас есть один ноль (x = 5).

Теперь рассмотрим значения x в диапазоне [-7; -6]. Как мы сказали ранее, если x - это ноль функции, то -x также будет нулем функции. Таким образом, -0 будет нулем функции на отрезке [-7; -6].

Аналогичным образом, на отрезке [-6; -5] у нас также будет два нуля функции, так как x = 0 и x = 5.

Продолжая таким образом, мы можем заметить, что на каждом интервале длиной 12 (так как 12 - период функции), будет два нуля функции: x и -x.

Итак, на отрезке [-7; 6] у нас будет общее количество нулей функции, включая те, которые мы уже нашли на отрезках [0;5] и [5;6]. Это количество будет состоять из двух нулей на каждом интервале длиной 12 внутри этого отрезка, плюс нули, найденные на отрезках [0;5] (x = 0 и x = 5) и [5;6] (x = 5).

Поскольку отрезок [-7; 6] имеет длину 13 (6 - (-7) + 1), то мы можем разделить это значение на длину периода 12 и умножить на 2, чтобы найти общее количество нулей:

(13 / 12) * 2 = 2.17 * 2 = 4.34.

Округляя этот результат до ближайшего целого числа, мы получаем, что количество всех нулей функции, расположенных на отрезке [-7; 6], составляет 4.

Таким образом, на отрезке [-7; 6] функция имеет четыре нуля.