Есть 7 прутьев длиннее 1 см но короче 9 см доказать что из трех из них можно составить треугольник

Треугольник не получится, если сумма двух сторон не больше третьей стороны. Попробуем подобрать такой. Начнём с самой маленькой стороны, равной 1 см. На самом деле по условии он д.б. больше 1 см, но для простоты возьмём 1 см. Второй тоже пусть будет 1 см, значит, третий д.б 2 см, чтобы не получился треугольник. Четвёрьый, естественно, д.б. равен 3 = 2 + 1, пятый 5 = 3 + 2, шестой 8 = 5 + 3, седьмой 13 = 8 + 5. Т.е. при длине прута в 13 см у нас не образуется треугольник. А для меньшего числа, как у нас длина не превышает 9, треугольник получится. Что и требовалось доказать.

ЗЫ. Кстати, полученный ряд  - числа Фибоначчи.