Dx/dt=8x-3y dy/dt=2x+y решить систему диф уравнения

nikakoheleva14 nikakoheleva14    2   26.09.2019 18:50    0

Ответы
TheNekyTyan TheNekyTyan  08.10.2020 20:51
Например, из второго уравнения выражаем х

x = \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} - \frac{y}{2}
Берем производную:

\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - \frac{1}{2} \frac{dy}{dt}
Подставляем в первое:

\frac{1}{2} \frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} = 8( \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} - \frac{y}{2} ) - 3y \\ \\ \frac{1}{2} \frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} = 4\frac{dy}{dt} - 4y - 3y
Домнодим обе части на 2:

\frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - \frac{dy}{dt} = 8\frac{dy}{dt} - 14y \\ \\ \frac{{d}^{2} y}{d {t}^{2} } - 9\frac{dy}{dt} + 14y = 0 \\ \\ {k}^{2} - 9k + 14 = 0 \\ \\ k = 7 \\ k = 2 \\ y = c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t}
x = \frac{1}{2} \frac{dy}{dt} - \frac{y}{2} = \frac{1}{2} \frac{d (c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} )}{dt} - \frac{1}{2} (c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} ) = \\ \\ = \frac{1}{2} (2c_1 {e}^{2t} + 7c_2 {e}^{7t} ) - \frac{1}{2} (c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} ) = \\ \\ = c_1 {e}^{2t} + 3.5c_2 {e}^{7t} - 0.5c_1 {e}^{2t} - 0.5c_2 {e}^{7t} = \\ \\ = 0.5c_1 {e}^{2t} + 3c_2{e}^{7t}
ответ:
y = c_1 {e}^{2t} + c_2{e}^{7t} \\ x = 0.5c_1 {e}^{2t} + 3c_2{e}^{7t}
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика