Дробно-рациональные уравнения:
1) x/x-2 + 5/x =4
2) 1/x+2 + 1/x²-2x =8
3) 5/x-1 - 4/x²-2x+1 =3
4) x+2/2x-6 + x-2/3x+9 =2/x+3

Привет! Я готов помочь тебе решить дробно-рациональные уравнения! Давай разберем каждое из них по очереди.

1) x/(x-2) + 5/x = 4

Для начала, найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей. В данном случае это будет (x-2) * x. Умножим каждое слагаемое на соответствующий множитель:

x * x + 5 * (x-2) = 4 * (x-2) * x

Раскроем скобки:

x^2 + 5x - 10 = 4x^2 - 8x

Приравняем уравнение к нулю:

4x^2 - 8x - x^2 - 5x + 10 = 0

Сгруппируем слагаемые:

3x^2 - 13x + 10 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение или разложение на линейные множители. В данном случае разложение на линейные множители будет проще:

(3x - 2)(x - 5) = 0

Отсюда следуют два возможных значения для x:

3x - 2 = 0 => x = 2/3
x - 5 = 0 => x = 5

Ответ: x может быть либо 2/3, либо 5.

2) 1/x + 1/(x^2 - 2x) = 8

Здесь нам понадобится найти наименьшее общее кратное знаменателей. В данном случае это будет x * (x - 2). Умножим каждое слагаемое на соответствующий множитель:

(x - 2) + x = 8 * x * (x - 2)

Раскроем скобки:

x - 2 + x = 8x^2 - 16x

Сгруппируем слагаемые:

2x - 2 = 8x^2 - 16x

Далее приравняем уравнение к нулю:

8x^2 - 14x - 2 = 0

Упростим уравнение, разделив все слагаемые на 2:

4x^2 - 7x - 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение или разложение на линейные множители. В данном случае разложение на линейные множители будет проще:

(4x + 1)(x - 1) = 0

Отсюда следуют два возможных значения для x:

4x + 1 = 0 => x = -1/4
x - 1 = 0 => x = 1

Ответ: x может быть либо -1/4, либо 1.

3) 5/(x - 1) - 4/(x^2 - 2x + 1) = 3

В данном уравнении второй знаменатель является полным квадратом (x - 1)^2. Поэтому мы можем его преобразовать:

5/(x - 1) - 4/[(x - 1)(x - 1)] = 3

Умножим второе слагаемое на (x - 1), чтобы сократить знаменатель:

5/(x - 1) - 4/(x - 1) = 3

Теперь заметим, что у нас есть общий знаменатель, поэтому можем сложить дроби:

(5 - 4)/(x - 1) = 3

Упростим левую часть уравнения:

1/(x - 1) = 3

Теперь возведем обе части уравнения в степень -1, чтобы избавиться от дроби:

(x - 1)^(-1) = 3^(-1)

(x - 1)^(-1) = 1/3

Заметим, что это уравнение эквивалентно (x - 1) = 3. Теперь прибавим 1 к обеим частям:

x - 1 + 1 = 3 + 1

x = 4

Ответ: x = 4.

4) (x + 2)/(2x - 6) + (x - 2)/(3x + 9) = 2/(x + 3)

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей, которое в данном случае будет равно (2x - 6)(3x + 9)(x + 3).
Умножим каждое слагаемое на соответствующие множители:

(x + 2)(3x + 9) + (x - 2)(2x - 6) = 2(2x - 6)(3x + 9)

Упростим уравнение, раскрыв скобки:

3x^2 + 6x + 9x + 18 + 2x^2 - 6x - 4x + 12 = 4(2x^2 - 6x + 6x - 18)

Сгруппируем слагаемые:

5x^2 + 19x + 30 = 4(2x^2 - 18)

Распределим умножение:

5x^2 + 19x + 30 = 8x^2 - 72

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

8x^2 - 5x^2 - 19x - 72 - 30 = 0

3x^2 - 19x - 102 = 0

Это уравнение можно решить, используя квадратное уравнение или разложение на линейные множители. В данном случае, разложение на линейные множители будет проще:

(x - 6)(3x + 17) = 0

Отсюда следуют два возможных значения для x:

x - 6 = 0 => x = 6
3x + 17 = 0 => x = -17/3

Ответ: x может быть либо 6, либо -17/3.

Надеюсь, что эти подробные решения помогут тебе! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их!