Довести, що при будь-якому невід'ємному n число 36ⁿ + 10 · 3ⁿ кратне 11.

Пошаговое объяснение:

А( n ) = 36ⁿ + 10 · 3ⁿ   кратне 11  при будь-якому невід'ємному цілому n .

Доведемо методом математичної індукції .

1) n = 1 ;  А( 1 ) = 36¹ + 10 · 3¹ = 66   ділиться на 11 ;

2) Припустимо , що A( k ) = 36^k + 10 · 3^k кратне 11  і доведемо , що А(k+1)    кратне  11 .  Маємо

А(k+1) = 36^( k + 1 ) + 10 * 3^( k + 1 ) = 36^k * 36 + 10 * 3^k * 3 =

         = ( 36^k + 10 · 3^k )* 36 - 33 * 10 * 3^k ;

перший вираз кратний 11  ( за умовою ) , другий вираз кратний 11 , бо

його множник кратний 11 . Отже , різниця  А(k+1) кратна 11 . Тому за

принципом математичної індукції даний вираз кратний  11 .