Дослідити на монотонність та екстремуми y=x^4+4x-62

на интервале  (-∞; -1)   функция убывает

на интервале  (-1;  +∞)    функция возрастает

точка x = (-1)  - точка минимума.

Пошаговое объяснение:

y= x⁴ + 4x - 62

Первая производная

y' = 4x³ + 4 = 4(х³+1)

х³+1 = 0

х ³ = -1

х = -1     это критичесая точка.

Монотонность.

Рассмотрим знаки первой производной на интервалах.

(-∞; -1) f'(-2) = -28  < 0, значит  функция убывает

(-1;  +∞)    f'(0) = 4       > 0, значит    функция возрастает

Экстремумы.

В окрестности точки x = (-1) первая производная  меняет знак с "-" на "+", следовательно, точка x = (-1)  - точка минимума.

Функція спадає, якщо х∈(-∞;-1].

Функція  зростає, якщо х∈[-1;+∞).

Xmin=-1, Ymin=-65

Пошаговое объяснение:

y=x⁴+4x-62

1. Знайдемо область визначення функції і інтервали на яких функція неперервна

Обл. визначення: R

Функція неперервна для х∈R

2. Знайдемо похідну функції

у' = 4x³+4

3. Знайдемо критичні точки (точки, в яких похідна дорівнює нулю або не існує)

у' =0

4x³+4=0

4x³=-4

x³=-1

х=-1

у' =0 якщо х=-1

х=-1 - критична точка

4. У кожному інтервалі, на які область визначення функції розбивається критичними точками, визначаємо знак похідної і характер зміни функції

Перевіримо знак похідної, для цього підставимо точки з інтервалів у рівняння похідної.

Два інтервала:

(-∞;-1]: у' (-2) = 4*(-2)³+4=-32+4=-28, у' <0 ⇒ функція спадає.

[-1;+∞): у' (0) = 4*(0)³+4= 0+4= 4 у' >0 ⇒ функція зростає.

5. Відносно кожної критичної точки визначити чи є вона точкою максимума, мінімума або не є точкою екстремума

Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції додатна, а справа від неї від’ємна, то дана точка є точкою максимуму функції.Якщо функція неперервна в деякій точці і в околі цієї точки зліва від неї похідна функції від’ємна, а справа від неї додатна, то дана точка є точкою мінімуму функції.

⇒ х=-1 точка мінімума

у(-1)=(-1)⁴+4(-1)-62=1-4-62=-65

Функція спадає, якщо х∈(-∞;-1].

Функція  зростає, якщо х∈[-1;+∞).

Xmin=-1, Ymin=-65