Дослідити функцію y=x^2+2x+17/1x+4 і побудувати графік

ДАНО: Y(x) = (x²+2*x+17)/(x+4) - функция.

Исследование

1. Область определения: D(х)= (-∞;-4)∪(-4;+∞).  

Не допускаем деления на 0 в знаменателе.  

2.Поведение в точке разрыва. LimY(-4-)= -∞, LimY(-4+)= +∞. Вертикальная асимптота - х = -4.    

Неустранимый разрыв II-го рода.  

3. Поведение на бесконечности - наклонная асимптота.    

k = lim(+∞)Y(х)/x = (х²+2*x+17)/(x²+4*x) = 1 - коэффициент наклона.

b = (17-2*x)/(x+4)  = -2 - наклонная асимптота y = x - 2.  

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ. Y(x) = 0 - нет.  

5. Пересечение с осью ОУ. Y(0) = 17/4 = 4.25  

6. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-4). Положительна: Y>0 - X∈(-4;+∞;)  

7. Проверка на чётность.  

Функция со сдвигом от осей симметрии  - функция общего вида. Ни нечётная: Y(-x) ≠ -Y(x) ни чётная:  Y(-x) ≠ Y(x)

8. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = (2*x+8)/(x+4) - (x²+2*x+17)/(x+4)² = (x²+8*x+9)/(x+4)² = 0.  

Корни квадратного уравнения. х1 = -9   и х2= 1.  

9. Локальные экстремумы.  

Минимум: Y(1) = 4, Максимум: Y(-9) = -16

10. Интервалы монотонности.    

Возрастает: X∈(-∞;-9)∪(1;+∞)  

Убывает: Х∈(-9;-4)∪(-4;1)

11. Поиск перегибов по второй производной.    

y''(x) = (2*x+8)/(x+4)² - 2(x²+8*x-9)/(x+4)³ = 50/(x+4)³ = 0.

Корней нет. Точки перегиба нет, кроме точки разрыва при Х = -4.      

12. Выпуклая - 'горка' - X∈(-∞;-4). Вогнутая - 'ложка'- X∈(-4;+∞;).  

13. Область значений. E(y) - y∈(-∞;-16]∪[4;+∞).    

14. График функции на рисунке в приложении.