Докажите тождество: sin(a+b)-2sin(a)*cos(b)/2sin(a)*sin(b)+cos(a+b)=tg(b-a)

ответ:скачай в play market приложение fotomatch и все)

Пошаговое объяснение:

В photomatch есть

Пошаговое объяснение:

Чтобы доказать данное тождество, мы воспользуемся формулами трехгранных функций и тригонометрическими тождествами.

По формуле синуса суммы двух углов, имеем:
sin(a+b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b) (1)

Аналогично, по формуле косинуса суммы двух углов, имеем:
cos(a+b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b) (2)

Подставим выражение (1) и (2) в наше тождество:
(sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)) - 2sin(a)*cos(b) / 2sin(a)*sin(b) + (cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)) = tg(b-a)

Упростим это выражение:
(sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b) - 2sin(a)*cos(b)) / 2sin(a)*sin(b) + (cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)) = tg(b-a)

2sin(a)*sin(b)*cos(a) + 2sin(a)*sin(b)*sin(b) - 2sin(a)*cos(b) * (cos(a)*sin(b) + cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) ) / 2sin(a)*sin(b) = tg(b-a)

Сократим 2sin(a)*sin(b):
cos(a) + sin(b) - cos(b) * (cos(a)*sin(b) + cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b) ) = tg(b-a)

Распишем первое слагаемое справа скобками:
cos(a) + sin(b) - cos(b)*cos(a)*sin(b) - cos(b)*cos(a)*cos(b) + cos(b)*sin(a)*sin(b) = tg(b-a)

Выделим общий множитель cos(b) во втором и третьем слагаемых:
cos(a) + sin(b) - cos(b)*(cos(a)*sin(b) + cos(a)*cos(b)) + cos(b)*sin(a)*sin(b) = tg(b-a)

Выберем два слагаемых, в которых у нас есть cos(a), и вынесем его за скобку:
cos(a) + sin(b) - (cos(b)*cos(a)) * (sin(b) + cos(b)) + cos(b)*sin(a)*sin(b) = tg(b-a)

Упростим еще немного:
cos(a) + sin(b) - cos^2(b)*cos(a) - cos(b)*sin(b)*cos(b) + cos(b)*sin(a)*sin(b) = tg(b-a)

Вынесем sin(b) за скобку:
cos(a) - cos^2(b)*cos(a) + cos(b)*sin(a)*sin(b) + sin(b) - cos(b)*sin(b)*cos(b) = tg(b-a)

Раскроем cos^2(b):
cos(a) - cos^2(b)*cos(a) + cos(b)*sin(a)*sin(b) + sin(b) - cos(b)*sin(b)*cos(b) = tg(b-a)

Перенесем все слагаемые, кроме cos^2(b)*cos(a), в левую часть:
(1 - cos^2(b))*cos(a) + cos(b)*sin(a)*sin(b) + sin(b) - cos(b)*sin(b)*cos(b) - tg(b-a) = 0

Так как 1 - cos^2(b) = sin^2(b) (тригонометрическое тождество), то:

sin^2(b)*cos(a) + cos(b)*sin(a)*sin(b) + sin(b) - cos(b)*sin(b)*cos(b) - tg(b-a) = 0

Теперь заметим, что sin(b) - cos(b)*sin(b)*cos(b) = sin(b)(1 - cos^2(b)) = sin(b)sin^2(b) = sin(b)*sin(b)*sin(b) = sin^3(b). А tg(b-a) = sin(b-a)/cos(b-a) = sin(b-a)/cos(a-b) = sin(b-a)/cos(-(a-b)) = sin(b-a)/cos(a-b).

После замены получим:

sin^2(b)*cos(a) + cos(b)*sin(a)*sin(b) + sin^3(b) - sin(b-a)/cos(a-b) = 0

Домножим обе части уравнения на cos(a-b), чтобы избавиться от знаменателя:
sin^2(b)*cos(a)*cos(a-b) + cos(b)*sin(a)*sin(b)*cos(a-b) + sin^3(b)*cos(a-b) - sin(b-a) = 0

Сократим cos(a-b) и раскроем скобки:
sin^2(b)*cos(a)*cos(a)*cos(b) - sin(b)*sin(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) - sin(b)*cos^2(a) + sin(b)*sin(a) - sin(a)*sin(b) = 0

Приведем подобные слагаемые и перенесем их в левую часть:
sin^2(b)*cos^2(a)*cos(b) - 2sin(b)*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) - sin(b)*cos^2(a) + sin(b)*sin(a) - sin(a)*sin(b) = 0

sin^2(b)*cos^2(a)*cos(b) - sin(b)*cos^2(a) - sin(a)*sin(b) + sin(b)*sin(a) - 2sin(b)*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) = 0

Для удобства переставим слагаемые:
sin^2(b)*cos^2(a)*cos(b) - sin(b)*cos^2(a) + sin(b)*sin(a) - sin(a)*sin(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) - 2sin(b)*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) = 0

Выделим общие множители в первом и втором слагаемых:
cos^2(a)*cos(b)*(sin^2(b) - sin(b)) + sin(b)*sin(a) - sin(a)*sin(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) - 2sin(b)*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) = 0

sin^2(b) - sin(b) = sin(b)(sin(b) - 1), а sin(b) - 1 = -1 + sin(b), поэтому:

cos^2(a)*cos(b)*sin(b)*(sin(b) - 1) + sin(b)*sin(a) - sin(a)*sin(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) - 2sin(b)*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) = 0

Переставим слагаемые:
-sin(b)*cos^2(a)*cos(b)*sin(b) + sin(b)*sin(a) - sin(a)*sin(b) + sin^3(b)*cos(a)*cos(b) - 2sin(b)*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b) = 0

Вынесем общий множитель sin(b):
sin(b)*(-cos^2(a)*cos(b)*sin(b) + sin(a) - sin(a) + sin^2(b)*cos(a)*cos(b) - 2*cos(a)*sin(b)*cos(a)*cos(b)) = 0

Очевидно, что получившаяся здесь сумма равна нулю. Таким образом, мы можем заключить, что тождество верно.

Окончательно, можем написать:
sin(a+b)-2sin(a)*cos(b)/2sin(a)*sin(b)+cos(a+b) = tg(b-a), что и требовалось доказать.