Докажите на простом примере существование иррациональных чисел

иррациональные цисла - действительные не являющиеся рациональными...

доказать существование - достаточно привести пример.

Пример иррационального числа

понятно, что оно действительное (величина длины диагонали квадрата со стороной 1, например), покажем, что оно не является рациональным, то есть не существует дроби х/у=√2, где х - целое, у - натуральное

Предположим обратное, то есть такие х и у существуют, тогда

(самое сложное)

разложив на множители х и у получим:

слева в равенстве число 2 в нечетной степени (действительно один раз уже есть, и могут быть от у*у, но только в четных степенях, а один плюс четное - нечетно)

справа 2 если и есть то только в четной степени.

а 2 в нечетной степени не может быть равно 2 в четной

получили противоречие

Значит представления √2 в виде дроби не существует.

Таким образом число √2 - иррационально

P.S. использовано (два натуральных числа равны ⇔совпадают все степени простых сомножителей)