Докажите что при любом натуральном n число 17^{n} -2^{2n}+16^{n} -3^{4n} кратно 13

Выражение можно переписать так: (17^n-4^n)-(81^n-16^n)
Достаточно доказать, что выражения в скобках делятся на 13.
Докажем следующее утверждение:  Если (а-b) делится на m, то и (a^n-b^n) делится на м. Для n=1 это очевидно. Пусть это верно для n=p,
покажем, что это верно для n=p+1. 
В самом деле: D=(а^(p+1)-b^(p+1))=a^(p)*a-b^(p)*b.
Но а=k*m+b для некоторого k
D=b*a^p+k*m*a^p-b*b^p=b*(a^p-b^p)+k*m
Оба слагаемых на  m делятся, что и доказывает наше утверждение.
 В исходном выражении два слагаемых делятся на 13 так как
17-4=13  и 81-16=13*5.
Утверждение доказано.