Докажите, что если в трапецию можно вписать окружность, то боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом.

По теореме:  Касательная перпендикулярна радиусу,откуда  треугольники 
OMB,OKB,OMA,OAN-прямоугольные.
Треугольник OMB   равен треугольнику BKO,по  общей  гипотенузе  BO
и   равным   как   радиусы катетам  OK=OM
Aнологично    доказывается что  треугольник   OMA   равен    треугольнику  ONA.
Откуда следует   равенство   углов : MOB=BOK ;  MOA=AON
Обозначим  угол   KOM=x ,тогда   из  смежности    углов:
угол  MON=180-x;  Из  равества   углов   следует  что:
BOM=x/2      AOM=(180-x)/2=90 -x/2
Откуда  угол  BOA=x/2 +90-x/2=90
Что   и требовалось доказать.