Докажите что для всех натуральных n выполняется неравенство n! < =((n+1)/2)^n

Anytohka0cosmos Anytohka0cosmos    1   21.09.2019 21:50    1

Ответы
tanya2017kazanova tanya2017kazanova  08.10.2020 08:02
Требуется доказать, что для всех натуральных n

n! \leq \left(\frac{n+1}{2}\right)^n

1) При n=1 неравенство левая и правая части равны: 1=1.
При n=2 неравенство справедливо: 2<2,25.

2) Левая часть a_n=n! при переходе от a_n к a_{n+1} увеличивается в (n+1) раз. Докажем, что правая часть b_n=\left(\frac{n+1}{2}\right)^2 при переходе от n к (n+1) умножается на большее число, чем на (n+1). Иными словами, будем доказывать, что

\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{2}\right)^n}\ \textgreater \ n+1.

Упрощая, приводим это неравенство к 

(n+2)^{n+1}\ \textgreater \ 2(n+1)^{n+1}.

Заменив n+1 на k, получаем неравенство

(k+1)^k\ \textgreater \ 2k^k,&#10;

причем k \geq 2.

Используя бином Ньютона, получаем

k^k+k\cdot k^{k-1}+\ldots= k^k+k^k+\ldots=2k^k+\ldots \ \textgreater \ 2k^k.

Неравенство доказано.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика