Доказать, что если в равнобедренном тругольнике проведена биссектриса, то она и медиана и высота.

Возьмем треуг. АBC (B - вершина, BM - биссектриса)

1)угол ABM=угол MBC (по опр. биссек.)

AB=BC (т.к. р/б треугольник)

BM - общ. сторона, тогда треуг. ABM=треуг. BMC (по 1 признаку)

2) Т.к. треуг. равны и угол ABM=MBC , то AM=MC, значит BM- медиана (по опр.)

3)Т.к. треуг. равны и AB=BC, то угол AMB=BMC

4) угол AMB+BMC=180 градусов(т.к. смежные углы) и угол AMB=BMC, то AMB=BMC=90 градусов, значит, BM - высота

Теорема (свойство медианы равнобедренного треугольника). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Доказательство. Пусть ABC – данный равнобедренный треугольник с основанием AB и CD – медиана, проведённая к основанию (рис. 53).

Треугольники CAD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников. (У них стороны AC и BC равны, потому что треугольник ABC равнобедренный. Углы CAD и CBD равны как углы при основании равнобедренного треугольника. Сторона AD и BD равны, потому что D – середина отрезка AB.)

Из равенства треугольников следует равенство углов: угол ACD = углу BCD, угол ADC = углу BDC. Так как углы ACD и BCD равны, то CD – биссектриса. Так как углы ADC и BDC смежные и равны, то они прямые, поэтому CD – высота треугольника.