а) Чтобы доказать, что число 2³³³ + 3²²² делится на 17, мы можем использовать теорему остатков или деление с остатком.
Для начала, посчитаем остаток от деления числа 2 на 17. Поскольку 2 не делится на 17 без остатка, мы можем записать это как 2 ≡ 2 (mod 17), где "mod" означает операцию взятия остатка.
Теперь мы можем заметить, что 2³³³ можно записать как (2²²)³ * 2¹, а 3²²² можно записать как (3³³)² * 3¹. Теперь мы можем записать сумму чисел 2³³³ и 3²²² в виде:
2³³³ + 3²²² = (2²²)³ * 2¹ + (3³³)² * 3¹
Теперь давайте рассмотрим остатки от деления каждого из слагаемых на 17. Поскольку мы знаем, что 2 ≡ 2 (mod 17) и 3 ≡ 3 (mod 17), мы можем выразить каждое слагаемое в виде остатка от деления на 17:
(2²²)³ * 2¹ ≡ (2²² mod 17)³ * (2¹ mod 17)
(3³³)² * 3 ≡ (3³³ mod 17)² * (3 mod 17)
Теперь давайте вычислим каждое из этих остатков.
Поскольку 2²² ≡ (2² mod 17)¹¹ ≡ 4¹¹ ≡ 4 (mod 17) и 3³³ ≡ (3 mod 17)³ ≡ 3³ ≡ 27 ≡ 10 (mod 17), мы можем заменить эти значения в нашем выражении:
Мы видим, что сумма 143 делится на 17 без остатка (143 mod 17 ≡ 0), поэтому число 2³³³ + 3²²² действительно делится на 17.
б) Чтобы доказать, что число 2²²² + 3³³³ делится на 31, мы можем применить аналогичный подход.
Снова, посчитаем остаток от деления числа 2 на 31. Поскольку 2 не делится на 31 без остатка, мы можем записать это как 2 ≡ 2 (mod 31).
Затем мы можем заметить, что 2²²² можно записать как (2³³)² * 2², и 3³³³ можно записать как (3²²)³ * 3¹. Теперь мы можем записать сумму чисел 2²²² и 3³³³ в виде:
2²²² + 3³³³ = (2³³)² * 2² + (3²²)³ * 3¹
Теперь давайте рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 31, используя наше знание о значениях остатков.
Поскольку 2³³ ≡ (2 mod 31)³³ ≡ 2³³ ≡ 8 (mod 31) и 3²² ≡ (3 mod 31)²² ≡ 3²² ≡ 9 (mod 31), мы можем заменить эти значения в нашем выражении:
Мы видим, что сумма 257 делится на 31 без остатка (257 mod 31 ≡ 0), поэтому число 2²²² + 3³³³ действительно делится на 31.
Таким образом, мы доказали, что а) число 2³³³ + 3²²² делится на 17, и б) число 2²²² + 3³³³ делится на 31 с использованием метода деления с остатком и вычисления остатков для каждого слагаемого.
а) Чтобы доказать, что число 2³³³ + 3²²² делится на 17, мы можем использовать теорему остатков или деление с остатком.
Для начала, посчитаем остаток от деления числа 2 на 17. Поскольку 2 не делится на 17 без остатка, мы можем записать это как 2 ≡ 2 (mod 17), где "mod" означает операцию взятия остатка.
Теперь мы можем заметить, что 2³³³ можно записать как (2²²)³ * 2¹, а 3²²² можно записать как (3³³)² * 3¹. Теперь мы можем записать сумму чисел 2³³³ и 3²²² в виде:
2³³³ + 3²²² = (2²²)³ * 2¹ + (3³³)² * 3¹
Теперь давайте рассмотрим остатки от деления каждого из слагаемых на 17. Поскольку мы знаем, что 2 ≡ 2 (mod 17) и 3 ≡ 3 (mod 17), мы можем выразить каждое слагаемое в виде остатка от деления на 17:
(2²²)³ * 2¹ ≡ (2²² mod 17)³ * (2¹ mod 17)
(3³³)² * 3 ≡ (3³³ mod 17)² * (3 mod 17)
Теперь давайте вычислим каждое из этих остатков.
Поскольку 2²² ≡ (2² mod 17)¹¹ ≡ 4¹¹ ≡ 4 (mod 17) и 3³³ ≡ (3 mod 17)³ ≡ 3³ ≡ 27 ≡ 10 (mod 17), мы можем заменить эти значения в нашем выражении:
(2²²)³ * 2¹ ≡ (4)³ * (2 mod 17) ≡ 64 * 2 ≡ 128 (mod 17)
(3³³)² * 3 ≡ (10)² * (3 mod 17) ≡ 100 * 3 ≡ 300 ≡ 15 (mod 17)
Теперь давайте сложим эти два остатка:
128 + 15 ≡ 143 (mod 17)
Мы видим, что сумма 143 делится на 17 без остатка (143 mod 17 ≡ 0), поэтому число 2³³³ + 3²²² действительно делится на 17.
б) Чтобы доказать, что число 2²²² + 3³³³ делится на 31, мы можем применить аналогичный подход.
Снова, посчитаем остаток от деления числа 2 на 31. Поскольку 2 не делится на 31 без остатка, мы можем записать это как 2 ≡ 2 (mod 31).
Затем мы можем заметить, что 2²²² можно записать как (2³³)² * 2², и 3³³³ можно записать как (3²²)³ * 3¹. Теперь мы можем записать сумму чисел 2²²² и 3³³³ в виде:
2²²² + 3³³³ = (2³³)² * 2² + (3²²)³ * 3¹
Теперь давайте рассмотрим остатки от деления каждого слагаемого на 31, используя наше знание о значениях остатков.
Поскольку 2³³ ≡ (2 mod 31)³³ ≡ 2³³ ≡ 8 (mod 31) и 3²² ≡ (3 mod 31)²² ≡ 3²² ≡ 9 (mod 31), мы можем заменить эти значения в нашем выражении:
(2³³)² * 2² ≡ (8)² * (2² mod 31) ≡ 64 * 4 ≡ 256 (mod 31)
(3²²)³ * 3 ≡ (9)³ * (3 mod 31) ≡ 729 * 3 ≡ 2187 ≡ 1 (mod 31)
Теперь давайте сложим эти два остатка:
256 + 1 ≡ 257 (mod 31)
Мы видим, что сумма 257 делится на 31 без остатка (257 mod 31 ≡ 0), поэтому число 2²²² + 3³³³ действительно делится на 31.
Таким образом, мы доказали, что а) число 2³³³ + 3²²² делится на 17, и б) число 2²²² + 3³³³ делится на 31 с использованием метода деления с остатком и вычисления остатков для каждого слагаемого.