Добрый вечер, за подробную постройку графика с соблюдением алгоритма. Алгоритм:
1. Область определения.
2. Четность и нечетность функции.
3. Периодичность.
4. Нули функции, промежутки анакопостоянства.
5. Точка разрыва и поведение функции вблизи точек разрыва.
6. Асимптомы.
7. Промежутки возрастания и убывания.
8. Исследования на выпуклость. Составление таблицы.
9. Составление таблицы некоторых значений функции.
10. По результатам исследования строим график.

, так как от этого графика зависит моя жизнь.​

Пошаговое объяснение:

1) ООФ вся числовая ось

2) четность

f(-x) = f(x)

(1/3)(-x)³ - (-x)² ≠ (1/3)(x)³ - (x)² - функция не является четной

f(-x)=-f(x)

(1/3)(-x)³ - (-x)² ≠-( (1/3)(x)³ - (x)²)  - функция не является нечетной

3) функция не периодична

4. Нули функции, промежутки знакопостоянства

(1/3)x²(x-3) = 0;   x₁ = 0;   x₂ = 3 -это нули функции

знакопостоянство

(-∞; 0) f(-1)= -1/3 -1  < 0

(0; 3) f(1)= 1/3 - 1  < 0

(3; +∞) f(4) (1/3)*4³ - 4²= 21,(3) - 16 > 0

5. Точка разрыва и поведение функции вблизи точек разрыва.

точек  разрыва функция не имеет на всей ООФ

6. Асимптоты

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

находим k

поскольку коэффициент k равен бесконечности, наклонных асимптот не существует.

7. Промежутки возрастания и убывания.

f'(x) = x²-2x

х(х-2)=0;   x₁ = 0,   x₂ = 2    это критические точки

(-∞; 0)  f'(x) > 0 - функция возрастает

(0; 2) f'(x) < 0 - функция убывает

(2; +∞)  f'(x) > 0 - функция возрастает

8. Исследования на выпуклость

вторая производная.

f''(x) = 2x-2

2x-2 = 0;  2(x-1) = 0   x₁ = 1 - это точка перегиба

(-∞; 1) f''(x) < 0 - функция выпукла

(1; +∞) f''(x) > 0 - функция вогнута

9. Составление таблицы некоторых значений функции.

x  -1         0     1          2

y   -4/3     0    -2/3     -4/3

10 график на рисунке