1. Математика
  2. Дмитрий тихомиров: (√(1-ctg^2(2π*cos(πx)+sin(πx)=√2

Дмитрий тихомиров: (√(1-ctg^2(2π*cos(πx)+sin(πx)=√2

lineage216 lineage216    2   01.08.2019 03:40    0

Ответы
1NatikNatik1 1NatikNatik1  29.09.2020 01:04
\cos \pi x\cdot \sqrt{1-ctg^22\pi x} +\sin \pi x= \sqrt{2} \\ \\ \cos \pi x\cdot \sqrt{1-(ctg^22\pi x+1-1)} +\sin \pi x= \sqrt{2} \\ \\ \cos \pi x\cdot \sqrt{2- \frac{1}{\sin^22\pi x} } +\sin \pi x= \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{2\cos^2\pi x- \frac{1}{4\sin^2\pi x} } +\sin\pi x= \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{2-2\sin^2\pi x- \frac{1}{4\sin^2\pi x} } +\sin\pi x= \sqrt{2}

Сделаем замену.
   Пусть \sin \pi x=t, причем |t| \leq 1. Тогда

\sqrt{2-2t^2- \frac{1}{4t^2} } +t= \sqrt{2} \\ \\ \sqrt{ \frac{8t^2-8t^4-1}{4t^2} } = \sqrt{2} -t
Возведем обе части в квадрат, получаем:
  \frac{8t^2-8t^4-1}{4t^2} =2+t^2-2t \sqrt{2} |\cdot 4t^2\\ \\ 8t^2-8t^4-1=8t^2+4t^4-8 t\sqrt{2} \\ \\ 12t^4-8t\sqrt{2} +1=0

Положим z=\sqrt{2} t. Тогда
  3z^4-4z^3+1=0\\ 3z^4-3z^3-z^3+z^2-z^2+z-z+1=0\\ 3z^3(z-1)-z^2(z-1)-z(z-1)-(z-1)=0\\ (z-1)(3z^3-z^2-z-1)=0\\ z-1=0;\,\,\,\Rightarrow \,\,\,z=1;\\ \\ 3z^3-z^2-z-1=0
Добавим и вычтем некоторые слагаемые
3z^3-3z^2+2z^2-2z+z-1=0\\ 3z^2(z-1)+2z(z-1)+z-1=0\\ (z-1)(3z^2+2z+1)=0\\z-1=0;\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,z=1\\ \\ 3z^2+2z+1=0\\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot3\cdot1=4-12=-8\ \textless \ 0
D\ \textless \ 0, уравнение действительных корней не имеет

z= \sqrt{2} t\\ t= \frac{1}{ \sqrt{2} }

Возвращаемся к замене
  \sin \pi x=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ \pi x=(-1)^k\cdot\arcsin(\frac{1}{ \sqrt{2} } )+\pi k,k \in Z\\ \\ \pi x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in Z\,\,|:\pi\\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{1}{4} +k,k \in Z

ответ: (-1)^k\cdot \frac{1}{4} +k,k \in Z
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Сонягро Сонягро  27.04.2019 14:44
Сколько целых составляют 8 дробей,равных одна четвертая...
NurGangsta NurGangsta  27.04.2019 14:40
Найдите множество значений функции f(x)=3/x-4...
qwweee qwweee  27.04.2019 14:39
(7 4/13−4 4/13): 0,15−4: (13 6/13+11 7/13). можно в столбик, если не трудно...
DemonOfFood DemonOfFood  27.04.2019 14:36
Даны две точки a и b, такие, что ab=14. пусть некая прямая bx касается в точке x окружности с центром в a радиуса корень из 5. найдите расстояние от точки x до середины...
YeGoR17 YeGoR17  27.04.2019 14:36
Дуже . центр о квадрат авсд проведено пряму мо, перпендикулярну до площини квадрата.точка к - середина відрізка сд, мс=6 см, кут мск=60°. 1)доведіть що пряма сд перпендикулярна...
лох249 лох249  27.04.2019 14:30
Всаду растет 10 яблонь. на них поровну яблок. в бурю с некоторых яблонь осыпались яблоки, с каких то ничего не упало, с каких то упала ровно треть, с каких то ровно...
akerkeserikbai akerkeserikbai  27.04.2019 14:28
Четыре друга решили записаться в 4различные спортивные секции, каждый -−в три. при этом они хотят ходить вчетвером вместе хотя бы в одну секцию. сколько есть вариантов...
FannyPanda FannyPanda  27.04.2019 14:27
Юзер написал некоторое количество запросов. три “тяжелейших” (7/20 общей затраченной памяти) запроса превысили максимальное время выполнения и были отключены . три...
ritosha002 ritosha002  27.04.2019 14:26
Всундуке у сильвера лежат: 11 монета достоинством 11 пиастр, 22 монеты достоинством 22 пиастра, 33 монеты достоинством 33 пиастра, 19 монет достоинством 19 пиастров....
megais megais  27.04.2019 14:24
Из связного графа удалили 4 ребра (оставив, однако, вершины на их концах). на какое наибольшее число компонент связности мог ра граф? 18 ! не верите, проверьте! нужен...

Популярные вопросы