Для яких двоцифрових чисел сумма куба цифри одиниць і квадрата цифри десятків дорівнюють самому числу?

Это число 24.
Решение.
Двузначное число записанное цифрами х и у равно (10х+у)
По условию х²+у³=10х+у
или
у³-у=10х-х²
у(у-1)(y+1)=х(10-х)
Цифры х и у положительные числа, произведение трех последовательных чисел (у-1)у(у+1)  число четное, кратное 3, потому что из трех последовательных чисел одно кратно 3.
Поэтому  следующие случаи:
если х=1, то (10-х)=9, произведение  (у-1)у(у+1) ≠9, так как  9 не кратно 2
.если х=2, то 10-х=8, произведение (у-1)у(у+1)  ≠16 , так как 16не кратно 3
если х=3, то 10-х=7, произведение (у-1)у(у+1)  ≠21, , так как 21 не кратно 3
если х=4, то 10-х=6, произведение (у-1)у(у+1) =24, возможно при  у=3,
Проверка 43=4²+3³=16+27 - верно
у-1=2, у+1=4. Произведение 2·3·4=24
х=5, 10-х=5 не подходит (у-1)у(у+1)  ≠25, так как не кратно 2
х=6, 10-х=4  тоже подходит, и у=3,
Проверка  63=6²+3³=36+27
х=7, 10-3=7  произведение (у-1)у(у+1)  ≠21
х=8, 10-х=2 произведение (у-1)у(у+1)  ≠16
х=9, 10-х=1 произведение (у-1)у(у+1) ≠9
ответ. 43 и 63