Для функции y = x sinx точка x = 0 является точкой : непрерывности? устранимого разрыва? разрыва 2-го рода? экстремума?

У=хsinx
limxsinx=0
x→0-0
limxsinx=0
x→0+0
пределы слева и справа равны,значит х=0 точка непрерывности

Для того чтобы определить, является ли точка x = 0 точкой непрерывности, устранимого разрыва, разрыва 2-го рода или экстремума функции y = x sinx, нам необходимо проанализировать свойства функции вблизи этой точки.

По определению, точка x = 0 является точкой непрерывности, если значение функции y = x sinx при x = 0 является конечным и предел функции x sinx при x стремится к этому значению. Для определения этого предела мы можем использовать правило Лопиталя, которое позволяет нам брать предел отношения производных функции.

Возьмем производные функции y = x sinx:

y' = sinx + x cosx (производная слагаемого x sinx)
y'' = 2cosx - xsinx (производная слагаемого sinx + x cosx)

Теперь мы можем вычислить предел функции x sinx при x стремящемся к 0, используя правило Лопиталя. Подставим x = 0 вместо x sinx в y = x sinx и проведем дальнейшие вычисления:

lim (x sinx) = lim [(sinx + x cosx)/(2cosx - xsinx)] (по правилу Лопиталя)
x→0
= lim [(cosx - sinx - x cosx)/(2sinx + cosx - xsinx - cosx)]
x→0
= lim [(cosx - sinx - x cosx)/(2sinx - xsinx)]
x→0
= (0 - 0 - 0)/(0 - 0)
= 0/0 (неопределенность)

Получается, что предел функции x sinx при x стремится к 0/0, что является неопределенностью. Это означает, что точка x = 0 является точкой устранимого разрыва функции y = x sinx.

Чтобы точка была точкой разрыва 2-го рода, функция должна иметь разные односторонние пределы в этой точке. В данном случае мы видим, что пределы слева и справа от x = 0 суть два конечных числа (0), поэтому точка x = 0 не является точкой разрыва 2-го рода.

Точка x = 0 также не является экстремумом функции y = x sinx, так как экстремум функции определяется значением предела функции в данной точке, а в данном случае предел равен 0, что не соответствует экстремуму.

В итоге, пользовуясь всей информацией, мы можем сделать вывод, что точка x = 0 является точкой устранимого разрыва для функции y = x sinx.