Для функции y=4x/(x+1)^2
Найти точки экстремума макс./мин.

точка (1;1)

Пошаговое объяснение:

Точки экстремума - точки, в которых производная функции равна 0.

y'(x) = ((4x)'*(x+1)² - ((x+1)²)'(4x)) / (x+1)^4 = 0

(по формуле (u/v)' = (u'v - v'u)/(v²)  )

4*(x+1)² - 2(x+1)*4x = 0 (дробь равна 0 когда числитель равен 0)

4x² + 8x + 4 - 8x² - 8x = 0

-4x² + 4 = 0

x = ±1

Заметим, что -4x²+4 отрицательна при x<-1 и x>1, и положительна при x∈(-1;1). Значит, и y'(x) отрицательна при x<-1 и x>1, и положительна при x∈(-1;1) (так как (x+1)^4 > 0). При этом, при x = 1, y'(x) = 0, а при x = -1 значение y(x) не определено. Поэтому есть только 1 точка экстремума (максимума): x = 1. Тогда y = 1.