Для функции f(x)=cosx + sinx + 1/sin²x найдите первообразную, график которой проходит через точку ( π/4; 4)

F(x)=sinx-cosx-ctgx+C
4=√2/2-√2/2-1+C
C=5
F(x)=sinx-cosx-ctgx+5

Для того чтобы найти первообразную функции f(x), мы должны выполнить обратную операцию по отношению к дифференцированию. В этом случае нам нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x).

Давайте начнем с нашей функции f(x)=cosx + sinx + 1/sin²x.

1. Для первого слагаемого cosx мы можем использовать известный результат дифференцирования: производная функции cosx равна -sinx. Таким образом, первое слагаемое мы интегрируем в функцию -sinx.

2. Для второго слагаемого sinx мы также можем использовать известный результат дифференцирования: производная функции sinx равна cosx. Таким образом, второе слагаемое мы интегрируем в функцию -cosx.

3. Для третьего слагаемого 1/sin²x нам понадобится небольшой трюк. Мы заметим, что 1/sin²x = (sinx)⁻². Мы можем записать это в виде (1/sinx)². Теперь мы видим, что это является квадратом функции 1/sinx. Таким образом, мы интегрируем это слагаемое в функцию -(1/sinx).

Итак, теперь у нас есть интеграл функции f(x), который записывается как:

F(x) = -sinx - cosx - (1/sinx) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь мы должны найти значение постоянной C, чтобы график функции проходил через точку (π/4, 4).

Подставляем x = π/4 в функцию F(x):

F(π/4) = -sin(π/4) - cos(π/4) - (1/sin(π/4)) + C,

Упрощаем:

F(π/4) = -1/√2 - 1/√2 - √2/2 + C,

F(π/4) = -2/√2 - √2/2 + C.

Мы знаем, что F(π/4) должно быть равно 4.

-2/√2 - √2/2 + C = 4.

Упрощаем:

C = 4 + 2/√2 + √2/2

C = 4 + (2√2/2) + (√2/2)

C = 4 + √2 + √2/2

Итак, значение постоянной C равно 4 + √2 + √2/2.

Таким образом, первообразная функции f(x), график которой проходит через точку (π/4, 4), записывается как:

F(x) = -sinx - cosx - (1/sinx) + (4 + √2 + √2/2).