Для данных бесконечно малых при x→x0 величин записать эквивалентные в виде a(x-x0)^k

$1) \sqrt[3]{27+x} -\sqrt[3]{27-x} , x_{0} = 0; \\2) 1 - cos^{3}10 x, x_{0} = 0; \\3) ln^{2} (x^{2} -5x+7), x_{0} = 2; \\4) arcsin\sqrt{1-x^{2} } , x_{0} = 1$

Ответы

Deer22 25.12.2023 17:10

1) Для первого выражения, мы можем использовать формулу разности кубов:

$\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} = \frac{a-b}{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}$

В данном случае, a = 27+x и b = 27-x. Подставим значения в формулу:

$\sqrt[3]{27+x} -\sqrt[3]{27-x} = \frac{(27+x) - (27-x)}{\sqrt[3]{(27+x)^2} + \sqrt[3]{(27+x)(27-x)} + \sqrt[3]{(27-x)^2}}$

Далее, приведем числитель и общий знаменатель к общему знаменателю (учтем разность квадратов):

$\sqrt[3]{27+x} -\sqrt[3]{27-x} = \frac{2x}{\sqrt[3]{27+x} + \sqrt[3]{(27+x)(27-x)} + \sqrt[3]{27-x}}$

Теперь можем записать эквивалентное выражение с использованием a(x-x0)^k:

$\sqrt[3]{27+x} -\sqrt[3]{27-x} = \frac{2x}{\sqrt[3]{27}} \cdot \frac{(\sqrt[3]{27+x} - \sqrt[3]{27-x})}{\sqrt[3]{27} + 2\sqrt[3]{(27+x)(27-x)} + \sqrt[3]{27}}$

Получили a = \frac{2}{\sqrt[3]{27}} и k = 1.

2) Для второго выражения, мы можем использовать формулу разности кубов:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$

В данном случае, a = 1 и b = cos^310x. Подставим значения в формулу:

$1 - cos^310x = (1 - cos10x)(1 + cos^310x + cos^210x)$

Теперь можем записать эквивалентное выражение с использованием a(x-x0)^k:

$1 - cos^310x = (1 - cos10x)(1 + \cos^310x + \cos^210x) = - 3cos^210x\cdot[\frac{(cos10x - 1)}{3cos^210x}]\cdot[(1 + cos^310x + cos^210x)] = -3cos^210x\cdot[\frac{(cos10x - 1)}{cos^210x}]\cdot[\frac{(1 + cos^310x + cos^210x)}{3cos^210x}] = -3cos^210x\cdot[\frac{(cos10x - 1)}{cos^210x}]\cdot[\frac{1}{3} + \frac{cos^310x}{3cos^210x} + \frac{cos^210x}{3cos^210x}] = -3cos^210x\cdot[\frac{(cos10x - 1)}{cos^210x}]\cdot[\frac{1}{3} + \frac{1}{3cos10x} + \frac{1}{3}] = -cos^210x\cdot[\frac{(cos10x - 1)}{cos^210x}]\cdot[1 + \frac{1}{cos10x} + 1] = -cos^210x\cdot(1 + \frac{1}{cos10x} + 1)[\frac{(cos10x - 1)}{cos^210x}] = -2cos^210x\cdot[\frac{(cos10x - 1)}{cos^210x}]$

Получили a = -2 и k = 1.

3) Для третьего выражения, мы можем использовать формулу разности квадратов:

$ln^2(a^2 - b^2) = (ln(a + b))(ln(a - b))$

В данном случае, a = x^2 и b = 5x - 7. Подставим значения в формулу:

$ln^2(x^2 - 5x + 7) = (ln(x^2 + (5x - 7)))(ln(x^2 - (5x - 7)))$

Теперь можем записать эквивалентное выражение с использованием a(x-x0)^k:

$ln^2(x^2 - 5x + 7) = (ln(x^2 + (5x - 7)))(ln(x^2 - (5x - 7))) = [ln(x^2 + (5x - 7)) - ln(x^2 - (5x - 7))]\cdot[ln(x^2 - (5x - 7)) + ln(x^2 + (5x - 7))]$

Получили a = 1 и k = 2.

4) Для четвертого выражения, мы можем использовать формулу разности квадратов и формулу арксинуса:

$arcsin(a^2 - b^2) = arcsin(a + b) - arcsin(a - b)$

В данном случае, a = 1 и b = \sqrt{1-x^2}. Подставим значения в формулу:

$arcsin\sqrt{1-x^{2}} = arcsin(1 + \sqrt{1-x^2}) - arcsin(1 - \sqrt{1-x^2})$

Теперь можем записать эквивалентное выражение с использованием a(x-x0)^k:

$arcsin\sqrt{1-x^{2}} = arcsin(1 + \sqrt{1-x^2}) - arcsin(1 - \sqrt{1-x^2}) = [arcsin(1 + \sqrt{1-x^2}) - arcsin(1 - \sqrt{1-x^2})]\cdot[1]$

Получили a = 1 и k = 1.

Таким образом, мы записали данные бесконечно малые выражения в эквивалентной форме a(x-x0)^k с подробным обоснованием и пошаговым решением.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ

Другие вопросы по теме Математика