Длины сторон прямоугольника натуральные числа, а его периметр

равен 4000. Известно, что длина

одной стороны прямоугольника равна

n% от длины другой стороны, где n

также натуральное число. Какое

наибольшее значение может

принимать площадь прямоугольника?

Пошаговое объяснение:

a - длина одной стороны

b = a·n / 100  - длина другой стороны

Периметр:

P = 2·(a+b) = 2·(a + a·n/100) = 2a·(1 + n/100)

По условию:

P = 4000

Тогда:

2a·(1 + n/100) = 4000

a = 2000 / (1 + n/100)

b = (2000·n)/ (100+n)

Площадь:

S = a·b

S = 2000·2000·n / ((1 + n/100)·(100 + n))

Находим производную:

S' = 4·10⁸ (100 + n -2n) / (100+n)³

Приравниваем к нулю:

100 + n - 2n = 0

n = 100%

То есть фигура - квадрат.

a = b = 2000 / 2 = 1000

S = a² = 1000² = 1 000 000