Дифференциальные уравнения. Задание на фото

y(x)=Yc(x)+Yp(x)=2cosx+sinx+c₁e⁻ˣcos2x+c₂e⁻ˣsin2x

Пошаговое объяснение:

так вроде.

но я хз, давно их не решала.

y''+2y'+5y=10cosx

d²y(x)/dx²+2*dy(x)/dx+5y(x)=0

y(x)=e^(λx)

d²/dx²(e^(λx))+2d/dx*(e^(λx))+5*e^(λx)=0

λ²e^(λx)+2λe^(λx)+5e^(λx)=0

(λ²+2λ+5)e^(λx)=0

λ²+2λ+5=0

λ=-1+2i or λ=-1-2i

y₁(x)=c₁e^((-1+2i)x)

y₂(x)=c₂e^((-1-2i)x)

y(x)=y₁(x)+y₂(x)=c₁e^((-1+2i)x)+c₂e^((-1-2i)x)

e^(α+iβ)=e^α*cosβ+ie^α*sinβ

y(x)=c₁(e⁻ˣcos2x+ie⁻ˣsin2x)+c₂(e⁻ˣcos2x-ie⁻ˣsin2x)

y(x)=(c₁+c₂)e⁻ˣcos2x+(c₁-c₂)e⁻ˣsin2x

Yp(x)=a₁cos+a₂sinx

dYp(x)/dx=d/dx(a₁cos+a₂sinx)=-a₁sinx+a₂cosx

d²Yp(x)/dx²=d²/dx²(a₁cos+a₂sinx)=-a₁cosx-a₂sinx

d²Yp(x)/dx²+2dYp(x)/dx+5Yp(x)=10cosx

-a₁cosx-a₂sinx+2(-a₁sinx-a₂cosx)+5(a₁cos+a₂sinx)=10cosx

(4a₁+2a₂)cosx+(-2a₁+4a₂)sinx=10cosx

4a₁+2a₂=10

-2a₁+4a₂=0

a₁=2

a₂=1

Yp(x)=2cosx+sinx

y(x)=Yc(x)+Yp(x)=2cosx+sinx+c₁e⁻ˣcos2x+c₂e⁻ˣsin2x