Диагональ куба равна 18 см. Найдите:
а) Ребро куба;
б) Косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его
граней.

Здравствуй! Давай решим задачу по нахождению ребра куба и косинуса угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. а) Найдем ребро куба. Известно, что диагональ куба равна 18 см. В кубе угол между диагональю и ребром равен 90 градусов, поскольку все его грани - квадраты. Для нахождения ребра куба мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В нашем случае, катеты это ребро куба (обозначим его как а) и половина диагонали куба (также обозначим ее как а). Таким образом, у нас получается уравнение: а^2 + а^2 = 18^2. Проведя несложные математические операции, мы получаем уравнение: 2а^2 = 324. Делим обе части уравнения на 2: а^2 = 162. Извлечем корень из обоих частей уравнения: а = sqrt(162). Таким образом, ребро куба равно sqrt(162) см, что приближенно равно 12.73 см. б) Давай найдем косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней. Нам понадобится геометрический представление о косинусе. Косинус угла определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Давай представим, что диагональ куба это гипотенуза прямоугольного треугольника, а ребро куба - прилежащий катет. Тогда, косинус угла равен: cos(angle) = прилежащий катет / гипотенуза. В нашем случае, прилежащий катет это ребро куба, равное sqrt(162) см, а гипотенуза это диагональ куба, равная 18 см. Таким образом, косинус угла равен: cos(angle) = sqrt(162) / 18. Вычисляя это значение, получаем: cos(angle) ≈ 0.894. Итак, ответ: а) ребро куба примерно равно 12.73 см, б) косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней примерно равен 0.894.