Даны векторы a, b, c. Показать, что векторы a и b образуют базис. Разложить вектор c по векторам a и b


Даны векторы a, b, c. Показать, что векторы a и b образуют базис. Разложить вектор c по векторам a и

valeevinsaf valeevinsaf    3   07.02.2022 08:01    0

Ответы
Maria9613 Maria9613  07.02.2022 08:10

c = 2a+b

Пошаговое объяснение:

Базис. Векторы a и b образуют базис, поскольку на плоскости (у векторов по две координаты) любые два линейно независимых вектора образуют базис (поскольку пространство двумерно), а линейная независимость на плоскости эквивалентна условию, что векторы непараллельны, т.е. их координаты непропорциональны. Впрочем, можно подойти и формально, записав линейную комбинацию векторов a и b, а также приравняв её к нулю:

\alpha a+\beta b=0

\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0 \end{array}\right]

где \alpha , \beta - числа. В силу того, что определитель матрицы векторов не равен нулю (матрица невырожденная), существует только нулевое решение, что означает линейную независимость векторов a и b.

Разложение. Чтобы найти разложение вектора c по базису, приравняем линейную комбинацию векторов a и b к вектору c:

\alpha a+\beta b=c

\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right] * \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right]

Домножим левую и правую часть слева на обратную матрицу коэффициентов векторов:

E*\left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right] =\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} * \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right]

Е - единичная матрица, можно опустить (получается при перемножении матрицы и обратной к ней).

\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{26} &\frac{1}{26} \\\frac{5}{26} &-\frac{3}{26} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3&1\\5&-7\end{array}\right]^{-1} * \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{7}{26} &\frac{1}{26} \\\frac{5}{26} &-\frac{3}{26} \end{array}\right]* \left[\begin{array}{c}7\\3 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}\alpha \\\beta \end{array}\right]

Итак,

\alpha =2, \beta =1.

Значит, c = 2a+b.

Прямой проверкой можно убедиться в правильности ответа:

2a+b = 2*(3;5)+(1;-7) = (6;10)+(1;-7) = (7;3) = c.

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика