Даны три вектора: a=2i-j+3k, b=i-3j+2k, c=3i+2j-4k.найти вектор x ,удовлетворяющий условиям: вектор xa=-5,xb=-11,xc=20.

Чтобы найти вектор x, который удовлетворяет условиям xa = -5, xb = -11 и xc = 20, мы можем использовать систему уравнений. Для каждой компоненты вектора x у нас будет одно уравнение.

Первая компонента xa равна -5. Мы знаем, что xa = a1*x1 + a2*x2 + a3*x3, где a1, a2 и a3 - это компоненты вектора a, а x1, x2 и x3 - компоненты искомого вектора x. Подставляя значения компонент вектора a и xa, мы получаем уравнение:

2x1 - x2 + 3x3 = -5 (Уравнение 1)

Аналогично, для второй компоненты xb мы получаем:

x1 - 3x2 + 2x3 = -11 (Уравнение 2)

И наконец, для третьей компоненты xc мы получаем:

3x1 + 2x2 - 4x3 = 20 (Уравнение 3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными - x1, x2 и x3. Давайте решим эту систему.

Метод 1: Метод замены

Мы можем использовать метод замены, чтобы найти значения x1, x2 и x3. Для этого мы можем начать с первого уравнения (Уравнение 1) и выразить x1 через x2 и x3. Далее мы подставляем это выражение для x1 в остальные два уравнения и решаем систему последовательно.

Давайте начнем с Уравнения 1:

2x1 - x2 + 3x3 = -5 (Уравнение 1)

Выразим x1 через x2 и x3:

x1 = (-5 + x2 - 3x3)/2

Теперь мы можем подставить это выражение для x1 в остальные два уравнения:

x1 - 3x2 + 2x3 = -11 (Уравнение 2)
3x1 + 2x2 - 4x3 = 20 (Уравнение 3)

Подставляем выражение для x1:

(-5 + x2 - 3x3)/2 - 3x2 + 2x3 = -11 (Уравнение 4)
3(-5 + x2 - 3x3)/2 + 2x2 - 4x3 = 20 (Уравнение 5)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными - x2 и x3. Давайте решим ее.

Уравнение 4:

(-5 + x2 - 3x3)/2 - 3x2 + 2x3 = -11

Раскрываем скобки и упрощаем:

-5/2 + x2/2 - 3x3/2 - 3x2 + 2x3 = -11

Переносим все неизвестные на одну сторону:

x2/2 - 3x2 - 3x3/2 + 2x3 = -11 + 5/2

Общий знаменатель:

x2/2 - 3/2 * x2 - 3/2 * x3 + 2x3 = -11 + 5/2

Упрощаем:

x2/2 - 3/2 * x2 - 3/2 * x3 + 2x3 = -21/2

Комбинируем подобные члены:

-x2/2 + 1/2 * x3 = -21/2

Уравнение 5:

3(-5 + x2 - 3x3)/2 + 2x2 - 4x3 = 20

Раскрываем скобки и упрощаем:

(-15 + 3x2 - 9x3)/2 + 2x2 - 4x3 = 20

Переносим все неизвестные на одну сторону:

3x2/2 - 9x3/2 + 2x2 - 4x3 = 20 + 15/2

Общий знаменатель:

3x2/2 + 2x2 - 9x3/2 - 4x3 = 20 + 15/2

Упрощаем:

(3/2 * x2 + 2x2 - 9/2 * x3 - 4x3)/2 = 50/2 + 15/2

Комбинируем подобные члены:

7/2 * x2 - 17/2 * x3 = 65/2

Итак, теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными - x2 и x3:

-x2/2 + 1/2 * x3 = -21/2 (Уравнение 6)
7/2 * x2 - 17/2 * x3 = 65/2 (Уравнение 7)

Мы можем решить эту систему методом подстановки, методом Крамера или любым другим методом, чтобы найти значения x2 и x3. После нахождения x2 и x3, мы можем подставить их значения в уравнение 1, чтобы найти значение x1.

Метод 2: Метод Крамера

Метод Крамера позволяет найти значения x1, x2 и x3, используя определители. Давайте применим этот метод к нашей системе уравнений.

Определитель D равен определителю матрицы коэффициентов нашей системы:

| 2 -1 3 |
| 1 -3 2 |
| 3 2 -4 |

D = 2(-3)(-4) + (-1)(2)(3) + 3(1)(2) - 3(-3)(3) - (-1)(2)(2) - 3(1)(-4) = 24 + 6 + 6 + 27 + 4 + 12 = 79

Определитель Dx равен определителю матрицы, где столбец коэффициентов x1 заменен на столбец значений xa, xb и xc:

| -5 -1 3 |
| -11 -3 2 |
| 20 2 -4 |

Dx = -5(-3)(-4) + (-1)(2)(20) + 3(-11)(2) - 3(-3)(20) - (-1)(2)(3) - 3(-11)(-4) = 84 + (-40) + (-66) - 180 + (-6) + 132 = -76

Определитель Dy равен определителю матрицы, где столбец коэффициентов x2 заменен на столбец значений xa, xb и xc:

| 2 -5 3 |
| 1 -11 2 |
| 3 20 -4 |

Dy = 2(-11)(-4) + (-5)(2)(3) + 3(1)(20) - 3(-11)(3) - (-5)(2)(2) - 3(1)(20) = 88 + (-30) + 60 + 99 + (-20) - 60 = 137

Определитель Dz равен определителю матрицы, где столбец коэффициентов x3 заменен на столбец значений xa, xb и xc:

| 2 -1 -5 |
| 1 -3 -11|
| 3 2 20 |

Dz = 2(-3)(20) + (-1)(-11)(3) + (-5)(2)(2) - 3(-3)(-5) - (-1)(-11)(2) - 3(2)(3) = (-120) + 33 + (-20) + 45 + 22 - 18 = -58

Теперь мы можем найти значения x1, x2 и x3, используя формулы:

x1 = Dx/D = -76/79
x2 = Dy/D = 137/79
x3 = Dz/D = -58/79

Таким образом, искомый вектор x равен:

x = (-76/79)i + (137/79)j + (-58/79)k

Ответ:

Вектор x, удовлетворяющий условиям xa = -5, xb = -11 и xc = 20, равен (-76/79)i + (137/79)j + (-58/79)k.